Theorem opprc 3561

Description: Expansion of an ordered pair when either member is a proper class. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opprc	|- (-. (A e. _V /\ B e. _V) -> <.A , B >. = (/))

Proof of Theorem opprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3376	. 2 |- <.A , B >. = {x | (A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { {A } , {A , B } }) }
2		3simpa 900	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { {A } , {A , B } }) -> (A e. _V /\ B e. _V))
3	2	con3i 561	. . . 4 |- (-. (A e. _V /\ B e. _V) -> -. (A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { {A } , {A , B } }))
4	3	alrimiv 1751	. . 3 |- (-. (A e. _V /\ B e. _V) -> A.x -. (A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { {A } , {A , B } }))
5		abeq0 3242	. . 3 |- ( {x | (A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { {A } , {A , B } }) } = (/) <-> A.x -. (A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { {A } , {A , B } }))
6	4, 5	sylibr 137	. 2 |- (-. (A e. _V /\ B e. _V) -> {x | (A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { {A } , {A , B } }) } = (/))
7	1, 6	syl5eq 2081	1 |- (-. (A e. _V /\ B e. _V) -> <.A , B >. = (/))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 884  A.wal 1240   = wceq 1242   e. wcel 1390   {cab 2023   _Vcvv 2551   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-dif 2914  df-nul 3219  df-op 3376

This theorem is referenced by:  opprc1  3562  opprc2  3563  ovprc  5482