Theorem omfnex 6029

Description: The characteristic function for ordinal multiplication is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omfnex	|- ( A e. V -> ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) Fn _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Proof of Theorem omfnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2560	. . . 4 |- x e. _V
2		oaexg 6028	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ A e. V ) -> ( x +o A ) e. _V )
3	1, 2	mpan 400	. . 3 |- ( A e. V -> ( x +o A ) e. _V )
4	3	ralrimivw 2393	. 2 |- ( A e. V -> A. x e. _V ( x +o A ) e. _V )
5		eqid 2040	. . 3 |- ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x +o A ) )
6	5	fnmpt 5025	. 2 |- ( A. x e. _V ( x +o A ) e. _V -> ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) Fn _V )
7	4, 6	syl 14	1 |- ( A e. V -> ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) Fn _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1393   A.wral 2306   _Vcvv 2557   |-> cmpt 3818   Fn wfn 4897  (class class class)co 5512   +o coa 5998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005

This theorem is referenced by:  fnom  6030  omexg  6031  omv  6035  omcl  6041  omv2  6045