ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  offres Structured version   Unicode version

Theorem offres 5704
Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offres  F  V  G  W  F  o F R G  |`  D  F  |`  D  o F R G  |`  D

Proof of Theorem offres
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3152 . . . . . 6  dom  F  i^i  dom  G  i^i  D 
C_  D
21sseli 2935 . . . . 5  dom 
F  i^i  dom  G  i^i  D  D
3 fvres 5141 . . . . . 6  D  F  |`  D `
 F `
4 fvres 5141 . . . . . 6  D  G  |`  D `
 G `
53, 4oveq12d 5473 . . . . 5  D  F  |`  D `
 R G  |`  D `  F `  R G `
62, 5syl 14 . . . 4  dom 
F  i^i  dom  G  i^i  D  F  |`  D `  R G  |`  D `  F `  R G `
76mpteq2ia 3834 . . 3  dom 
F  i^i  dom  G  i^i  D  |->  F  |`  D `  R G  |`  D `  dom  F  i^i  dom  G  i^i  D 
|->  F `  R G `
8 inindi 3148 . . . . 5  D  i^i  dom  F  i^i  dom  G  D  i^i  dom  F  i^i  D  i^i  dom  G
9 incom 3123 . . . . 5  dom  F  i^i  dom  G  i^i  D  D  i^i  dom  F  i^i  dom  G
10 dmres 4575 . . . . . 6  dom  F  |`  D  D  i^i  dom  F
11 dmres 4575 . . . . . 6  dom  G  |`  D  D  i^i  dom  G
1210, 11ineq12i 3130 . . . . 5  dom  F  |`  D  i^i  dom  G  |`  D  D  i^i  dom 
F  i^i  D  i^i  dom  G
138, 9, 123eqtr4ri 2068 . . . 4  dom  F  |`  D  i^i  dom  G  |`  D  dom  F  i^i  dom  G  i^i 
D
14 eqid 2037 . . . 4  F  |`  D `
 R G  |`  D `  F  |`  D `
 R G  |`  D `
1513, 14mpteq12i 3836 . . 3  dom  F  |`  D  i^i 
dom  G  |`  D  |->  F  |`  D `  R G  |`  D `  dom  F  i^i  dom  G  i^i  D 
|->  F  |`  D `  R G  |`  D `
16 resmpt3 4600 . . 3  dom 
F  i^i  dom  G 
|->  F `  R G `
 |`  D  dom  F  i^i  dom 
G  i^i  D  |->  F `
 R G `
177, 15, 163eqtr4ri 2068 . 2  dom 
F  i^i  dom  G 
|->  F `  R G `
 |`  D  dom  F  |`  D  i^i  dom  G  |`  D 
|->  F  |`  D `  R G  |`  D `
18 offval3 5703 . . 3  F  V  G  W  F  o F R G  dom  F  i^i  dom  G  |->  F `
 R G `
1918reseq1d 4554 . 2  F  V  G  W  F  o F R G  |`  D  dom  F  i^i  dom  G  |->  F `
 R G `  |`  D
20 resexg 4593 . . 3  F  V  F  |`  D 
_V
21 resexg 4593 . . 3  G  W  G  |`  D 
_V
22 offval3 5703 . . 3  F  |`  D  _V  G  |`  D 
_V  F  |`  D  o F R G  |`  D  dom  F  |`  D  i^i  dom  G  |`  D  |->  F  |`  D `  R G  |`  D `
2320, 21, 22syl2an 273 . 2  F  V  G  W  F  |`  D  o F R G  |`  D  dom  F  |`  D  i^i  dom  G  |`  D 
|->  F  |`  D `  R G  |`  D `
2417, 19, 233eqtr4a 2095 1  F  V  G  W  F  o F R G  |`  D  F  |`  D  o F R G  |`  D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    i^i cin 2910    |-> cmpt 3809   dom cdm 4288    |` cres 4290   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    o Fcof 5652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-of 5654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator