ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  off Unicode version

Theorem off 5666
Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
off.1  S  T  R  U
off.2  F : --> S
off.3  G : --> T
off.4  V
off.5  W
off.6  i^i  C
Assertion
Ref Expression
off  F  o F R G : C --> U
Distinct variable groups:   , G   ,,   , S,   , T,   , F,   , R,   , U,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)    C(,)    G()    V(,)    W(,)

Proof of Theorem off
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 off.2 . . . . 5  F : --> S
2 off.6 . . . . . . 7  i^i  C
3 inss1 3151 . . . . . . 7  i^i  C_
42, 3eqsstr3i 2970 . . . . . 6  C  C_
54sseli 2935 . . . . 5  C
6 ffvelrn 5243 . . . . 5  F : --> S  F `  S
71, 5, 6syl2an 273 . . . 4  C  F `  S
8 off.3 . . . . 5  G : --> T
9 inss2 3152 . . . . . . 7  i^i  C_
102, 9eqsstr3i 2970 . . . . . 6  C  C_
1110sseli 2935 . . . . 5  C
12 ffvelrn 5243 . . . . 5  G : --> T  G `  T
138, 11, 12syl2an 273 . . . 4  C  G `  T
14 off.1 . . . . . 6  S  T  R  U
1514ralrimivva 2395 . . . . 5  S  T  R  U
1615adantr 261 . . . 4  C  S  T  R  U
17 oveq1 5462 . . . . . 6  F `  R  F `  R
1817eleq1d 2103 . . . . 5  F `  R  U  F `  R  U
19 oveq2 5463 . . . . . 6  G `  F `  R  F `  R G `
2019eleq1d 2103 . . . . 5  G `  F `  R  U  F `
 R G `  U
2118, 20rspc2va 2657 . . . 4  F `  S  G `  T  S  T  R  U  F `  R G `  U
227, 13, 16, 21syl21anc 1133 . . 3  C  F `
 R G `  U
23 eqid 2037 . . 3  C  |->  F `  R G `  C  |->  F `  R G `
2422, 23fmptd 5265 . 2  C  |->  F `  R G `
 : C --> U
25 ffn 4989 . . . . 5  F : --> S 
F  Fn
261, 25syl 14 . . . 4  F  Fn
27 ffn 4989 . . . . 5  G : --> T 
G  Fn
288, 27syl 14 . . . 4  G  Fn
29 off.4 . . . 4  V
30 off.5 . . . 4  W
31 eqidd 2038 . . . 4  F `  F `
32 eqidd 2038 . . . 4  G `  G `
3326, 28, 29, 30, 2, 31, 32offval 5661 . . 3  F  o F R G  C  |->  F `  R G `
3433feq1d 4977 . 2  F  o F R G : C --> U  C  |->  F `  R G `  : C --> U
3524, 34mpbird 156 1  F  o F R G : C --> U
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300    i^i cin 2910    |-> cmpt 3809    Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    o Fcof 5652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-of 5654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator