Theorem nummul2c 8404

Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	|- T e. NN0
nummul1c.2	|- P e. NN0
nummul1c.3	|- A e. NN0
nummul1c.4	|- B e. NN0
nummul1c.5	|- N = ( ( T x. A ) + B )
nummul1c.6	|- D e. NN0
nummul1c.7	|- E e. NN0
nummul2c.7	|- ( ( P x. A ) + E ) = C
nummul2c.8	|- ( P x. B ) = ( ( T x. E ) + D )

Assertion

Ref	Expression
nummul2c	|- ( P x. N ) = ( ( T x. C ) + D )

Proof of Theorem nummul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 |- N = ( ( T x. A ) + B )
2		nummul1c.1	. . . . 5 |- T e. NN0
3		nummul1c.3	. . . . 5 |- A e. NN0
4		nummul1c.4	. . . . 5 |- B e. NN0
5	2, 3, 4	numcl 8378	. . . 4 |- ( ( T x. A ) + B ) e. NN0
6	1, 5	eqeltri 2110	. . 3 |- N e. NN0
7	6	nn0cni 8193	. 2 |- N e. CC
8		nummul1c.2	. . 3 |- P e. NN0
9	8	nn0cni 8193	. 2 |- P e. CC
10		nummul1c.6	. . 3 |- D e. NN0
11		nummul1c.7	. . 3 |- E e. NN0
12	3	nn0cni 8193	. . . . . 6 |- A e. CC
13	12, 9	mulcomi 7033	. . . . 5 |- ( A x. P ) = ( P x. A )
14	13	oveq1i 5522	. . . 4 |- ( ( A x. P ) + E ) = ( ( P x. A ) + E )
15		nummul2c.7	. . . 4 |- ( ( P x. A ) + E ) = C
16	14, 15	eqtri 2060	. . 3 |- ( ( A x. P ) + E ) = C
17	4	nn0cni 8193	. . . 4 |- B e. CC
18		nummul2c.8	. . . 4 |- ( P x. B ) = ( ( T x. E ) + D )
19	9, 17, 18	mulcomli 7034	. . 3 |- ( B x. P ) = ( ( T x. E ) + D )
20	2, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19	nummul1c 8403	. 2 |- ( N x. P ) = ( ( T x. C ) + D )
21	7, 9, 20	mulcomli 7034	1 |- ( P x. N ) = ( ( T x. C ) + D )

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393  (class class class)co 5512   + caddc 6892   x. cmul 6894   NN0cn0 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915  df-n0 8182

This theorem is referenced by:  decmul2c  8415