ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numadd Unicode version

Theorem numadd 8401
Description: Add two decimal integers  M and  N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1  |-  T  e. 
NN0
numma.2  |-  A  e. 
NN0
numma.3  |-  B  e. 
NN0
numma.4  |-  C  e. 
NN0
numma.5  |-  D  e. 
NN0
numma.6  |-  M  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
numma.7  |-  N  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
numadd.8  |-  ( A  +  C )  =  E
numadd.9  |-  ( B  +  D )  =  F
Assertion
Ref Expression
numadd  |-  ( M  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)

Proof of Theorem numadd
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
2 numma.1 . . . . . . 7  |-  T  e. 
NN0
3 numma.2 . . . . . . 7  |-  A  e. 
NN0
4 numma.3 . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 8378 . . . . . 6  |-  ( ( T  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2110 . . . . 5  |-  M  e. 
NN0
76nn0cni 8193 . . . 4  |-  M  e.  CC
87mulid1i 7029 . . 3  |-  ( M  x.  1 )  =  M
98oveq1i 5522 . 2  |-  ( ( M  x.  1 )  +  N )  =  ( M  +  N
)
10 numma.4 . . 3  |-  C  e. 
NN0
11 numma.5 . . 3  |-  D  e. 
NN0
12 numma.7 . . 3  |-  N  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
13 1nn0 8197 . . 3  |-  1  e.  NN0
143nn0cni 8193 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
1514mulid1i 7029 . . . . 5  |-  ( A  x.  1 )  =  A
1615oveq1i 5522 . . . 4  |-  ( ( A  x.  1 )  +  C )  =  ( A  +  C
)
17 numadd.8 . . . 4  |-  ( A  +  C )  =  E
1816, 17eqtri 2060 . . 3  |-  ( ( A  x.  1 )  +  C )  =  E
194nn0cni 8193 . . . . . 6  |-  B  e.  CC
2019mulid1i 7029 . . . . 5  |-  ( B  x.  1 )  =  B
2120oveq1i 5522 . . . 4  |-  ( ( B  x.  1 )  +  D )  =  ( B  +  D
)
22 numadd.9 . . . 4  |-  ( B  +  D )  =  F
2321, 22eqtri 2060 . . 3  |-  ( ( B  x.  1 )  +  D )  =  F
242, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23numma 8398 . 2  |-  ( ( M  x.  1 )  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)
259, 24eqtr3i 2062 1  |-  ( M  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1243    e. wcel 1393  (class class class)co 5512   1c1 6890    + caddc 6892    x. cmul 6894   NN0cn0 8181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915  df-n0 8182
This theorem is referenced by:  decadd  8408
  Copyright terms: Public domain W3C validator