ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or Unicode version

Theorem nqtri3or 6494
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) )

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6446 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 3767 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  ) )
3 eqeq1 2046 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  <->  A  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
4 breq2 3768 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A ) )
52, 3, 43orbi123d 1206 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) 
<->  ( A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  A  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A ) ) )
6 breq2 3768 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
7 eqeq2 2049 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A  =  B
) )
8 breq1 3767 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A  <->  B  <Q  A ) )
96, 7, 83orbi123d 1206 . 2  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. u ,  v >. ]  ~Q  \/  A  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A )  <->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) ) )
10 mulclpi 6426 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  e.  N. )
1110ad2ant2rl 480 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  e.  N. )
12 mulclpi 6426 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
1312ad2ant2lr 479 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
14 pitri3or 6420 . . . 4  |-  ( ( ( z  .N  v
)  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  v )  <N  (
w  .N  u )  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u )  \/  ( w  .N  u )  <N  (
z  .N  v ) ) )
1511, 13, 14syl2anc 391 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
)  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u
)  \/  ( w  .N  u )  <N 
( z  .N  v
) ) )
16 ordpipqqs 6472 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
) ) )
17 enqeceq 6457 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u ) ) )
18 ordpipqqs 6472 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
1918ancoms 255 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
20 mulcompig 6429 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( u  .N  w ) )
2120ad2ant2lr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( u  .N  w ) )
22 mulcompig 6429 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  =  ( v  .N  z ) )
2322ad2ant2rl 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  =  ( v  .N  z ) )
2421, 23breq12d 3777 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .N  u ) 
<N  ( z  .N  v
)  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
2519, 24bitr4d 180 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( w  .N  u )  <N  (
z  .N  v ) ) )
2616, 17, 253orbi123d 1206 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( (
z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
)  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u
)  \/  ( w  .N  u )  <N 
( z  .N  v
) ) ) )
2715, 26mpbird 156 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
281, 5, 9, 272ecoptocl 6194 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    \/ w3o 884    = wceq 1243    e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   [cec 6104   N.cnpi 6370    .N cmi 6372    <N clti 6373    ~Q ceq 6377   Q.cnq 6378    <Q cltq 6383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-ltnqqs 6451
This theorem is referenced by:  ltsonq  6496  nqtric  6497  addlocprlem  6633  nqprloc  6643  distrlem4prl  6682  distrlem4pru  6683  ltexprlemrl  6708  aptiprleml  6737  aptiprlemu  6738
  Copyright terms: Public domain W3C validator