ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or Structured version   Unicode version

Theorem nqtri3or 6249
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or  Q.  Q.  <Q  <Q

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6201 . 2  Q.  N.  X.  N. /.  ~Q
2 breq1 3737 . . 3  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q
3 eqeq1 2024 . . 3  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q
4 breq2 3738 . . 3  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <Q
52, 3, 43orbi123d 1189 . 2  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  <Q 
<. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >. 
~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <Q
6 breq2 3738 . . 3  <. ,  >. 
~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  <Q
7 eqeq2 2027 . . 3  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >. 
~Q
8 breq1 3737 . . 3  <. ,  >. 
~Q  <. , 
>.  ~Q  <Q  <Q
96, 7, 83orbi123d 1189 . 2  <. ,  >. 
~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <Q  <Q  <Q
10 mulclpi 6182 . . . . 5  N.  N.  .N  N.
1110ad2ant2rl 468 . . . 4  N.  N.  N.  N.  .N  N.
12 mulclpi 6182 . . . . 5  N.  N.  .N  N.
1312ad2ant2lr 467 . . . 4  N.  N.  N.  N.  .N  N.
14 pitri3or 6176 . . . 4  .N  N.  .N 
N.  .N  <N  .N  .N  .N  .N  <N  .N
1511, 13, 14syl2anc 393 . . 3  N.  N.  N.  N.  .N  <N  .N  .N  .N  .N  <N  .N
16 ordpipqqs 6227 . . . 4  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. , 
>.  ~Q  .N  <N  .N
17 enqeceq 6212 . . . 4  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  .N  .N
18 ordpipqqs 6227 . . . . . 6  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  .N  <N  .N
1918ancoms 255 . . . . 5  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  .N  <N  .N
20 mulcompig 6185 . . . . . . 7  N.  N.  .N  .N
2120ad2ant2lr 467 . . . . . 6  N.  N.  N.  N.  .N  .N
22 mulcompig 6185 . . . . . . 7  N.  N.  .N  .N
2322ad2ant2rl 468 . . . . . 6  N.  N.  N.  N.  .N  .N
2421, 23breq12d 3747 . . . . 5  N.  N.  N.  N.  .N  <N  .N  .N  <N  .N
2519, 24bitr4d 180 . . . 4  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  .N  <N  .N
2616, 17, 253orbi123d 1189 . . 3  N.  N.  N.  N.  <. ,  >. 
~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q 
<. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q  .N  <N  .N  .N  .N  .N  <N  .N
2715, 26mpbird 156 . 2  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <Q  <. , 
>.  ~Q  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  <. , 
>.  ~Q  <Q  <. ,  >.  ~Q
281, 5, 9, 272ecoptocl 6101 1  Q.  Q.  <Q  <Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3o 870   wceq 1226   wcel 1370   <.cop 3349   class class class wbr 3734  (class class class)co 5432  cec 6011   N.cnpi 6126    .N cmi 6128    <N clti 6129    ~Q ceq 6133   Q.cnq 6134    <Q cltq 6139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-mi 6160  df-lti 6161  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-ltnqqs 6206
This theorem is referenced by:  ltsonq  6251  nqtric  6252  addlocprlem  6384  nqprloc  6394  distrlem4prl  6417  distrlem4pru  6418  ltexprlemrl  6441  aptiprleml  6467  aptiprlemu  6468
  Copyright terms: Public domain W3C validator