Theorem nnwetri 6354

Description: A natural number is well-ordered by _E. More specifically, this order both satisfies We and is trichotomous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnwetri	|- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnwetri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4334	. . 3 |- ( A e. om -> Ord A )
2		ordwe 4300	. . 3 |- ( Ord A -> _E We A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. om -> _E We A )
4		simprl 483	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. A )
5		simpl 102	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A e. om )
6		elnn 4328	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
7	4, 5, 6	syl2anc 391	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> x e. om )
8		simprr 484	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. A )
9		elnn 4328	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ A e. om ) -> y e. om )
10	8, 5, 9	syl2anc 391	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> y e. om )
11		nntri3or 6072	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
12		epel 4029	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
13		biid 160	. . . . . 6 |- ( x = y <-> x = y )
14		epel 4029	. . . . . 6 |- ( y _E x <-> y e. x )
15	12, 13, 14	3orbi123i 1094	. . . . 5 |- ( ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
16	11, 15	sylibr 137	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
17	7, 10, 16	syl2anc 391	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
18	17	ralrimivva 2401	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) )
19	3, 18	jca 290	1 |- ( A e. om -> ( _E We A /\ A. x e. A A. y e. A ( x _E y \/ x = y \/ y _E x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ w3o 884   e. wcel 1393   A.wral 2306   class class class wbr 3764   _E cep 4024   We wwe 4067   Ord word 4099   omcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-frfor 4068  df-frind 4069  df-wetr 4071  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314

This theorem is referenced by: (None)