Theorem nnmord 6090

Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmord	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmordi 6089	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
2	1	ex 108	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
3	2	com23 72	. . . 4 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
4	3	impd 242	. . 3 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
5	4	3adant1 922	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6		ne0i 3230	. . . . . . . 8 |- ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( C .o B ) =/= (/) )
7		nnm0r 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
8		oveq1 5519	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( C .o B ) = ( (/) .o B ) )
9	8	eqeq1d 2048	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> ( ( C .o B ) = (/) <-> ( (/) .o B ) = (/) ) )
10	7, 9	syl5ibrcom 146	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> ( C = (/) -> ( C .o B ) = (/) ) )
11	10	necon3d 2249	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( C .o B ) =/= (/) -> C =/= (/) ) )
12	6, 11	syl5 28	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
13	12	adantr 261	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) )
14		nn0eln0 4341	. . . . . . 7 |- ( C e. om -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
15	14	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) )
16	13, 15	sylibrd 158	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
17	16	3adant1 922	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) )
18		oveq2 5520	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) ) )
20		nnmordi 6089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
21	20	3adantl2 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
22	19, 21	orim12d 700	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
23	22	con3d 561	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
24		simpl3 909	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> C e. om )
25		simpl1 907	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> A e. om )
26		nnmcl 6060	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) e. om )
27	24, 25, 26	syl2anc 391	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. om )
28		simpl2 908	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> B e. om )
29		nnmcl 6060	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) e. om )
30	24, 28, 29	syl2anc 391	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. om )
31		nntri2 6073	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C .o A ) e. om /\ ( C .o B ) e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
32	27, 30, 31	syl2anc 391	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) )
33		nntri2 6073	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
34	25, 28, 33	syl2anc 391	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
35	23, 32, 34	3imtr4d 192	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
36	35	ex 108	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) ) )
37	36	com23 72	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( (/) e. C -> A e. B ) ) )
38	17, 37	mpdd 36	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) )
39	38, 17	jcad 291	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
40	5, 39	impbid 120	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   (/)c0 3224   omcom 4313  (class class class)co 5512   .o comu 5999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006

This theorem is referenced by:  nnmword  6091  ltmpig  6437