ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmord Structured version   Unicode version

Theorem nnmord 6026
Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmord  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o

Proof of Theorem nnmord
StepHypRef Expression
1 nnmordi 6025 . . . . . 6  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
21ex 108 . . . . 5  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
32com23 72 . . . 4  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
43impd 242 . . 3  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
543adant1 921 . 2  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
6 ne0i 3224 . . . . . . . 8  C  .o  C  .o  C  .o  =/=  (/)
7 nnm0r 5997 . . . . . . . . . 10  om  (/) 
.o  (/)
8 oveq1 5462 . . . . . . . . . . 11  C  (/)  C  .o  (/)  .o
98eqeq1d 2045 . . . . . . . . . 10  C  (/)  C  .o  (/)  (/)  .o  (/)
107, 9syl5ibrcom 146 . . . . . . . . 9  om  C  (/)  C  .o  (/)
1110necon3d 2243 . . . . . . . 8  om  C  .o  =/=  (/)  C  =/=  (/)
126, 11syl5 28 . . . . . . 7  om  C  .o  C  .o  C  =/=  (/)
1312adantr 261 . . . . . 6  om  C  om  C  .o  C  .o 
C  =/=  (/)
14 nn0eln0 4284 . . . . . . 7  C  om  (/)  C  C  =/=  (/)
1514adantl 262 . . . . . 6  om  C  om  (/)  C  C  =/=  (/)
1613, 15sylibrd 158 . . . . 5  om  C  om  C  .o  C  .o  (/)  C
17163adant1 921 . . . 4  om  om  C  om  C  .o  C  .o  (/)  C
18 oveq2 5463 . . . . . . . . . 10  C  .o  C  .o
1918a1i 9 . . . . . . . . 9  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
20 nnmordi 6025 . . . . . . . . . 10  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
21203adantl2 1060 . . . . . . . . 9  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
2219, 21orim12d 699 . . . . . . . 8  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o  C  .o  C  .o
2322con3d 560 . . . . . . 7  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o  C  .o  C  .o
24 simpl3 908 . . . . . . . . 9  om  om  C  om  (/)  C  C  om
25 simpl1 906 . . . . . . . . 9  om  om  C  om  (/)  C  om
26 nnmcl 5999 . . . . . . . . 9  C  om  om  C  .o  om
2724, 25, 26syl2anc 391 . . . . . . . 8  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  om
28 simpl2 907 . . . . . . . . 9  om  om  C  om  (/)  C  om
29 nnmcl 5999 . . . . . . . . 9  C  om  om  C  .o  om
3024, 28, 29syl2anc 391 . . . . . . . 8  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  om
31 nntri2 6012 . . . . . . . 8  C  .o  om  C  .o 
om  C  .o  C  .o  C  .o  C  .o  C  .o  C  .o
3227, 30, 31syl2anc 391 . . . . . . 7  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o  C  .o  C  .o  C  .o  C  .o
33 nntri2 6012 . . . . . . . 8  om  om
3425, 28, 33syl2anc 391 . . . . . . 7  om  om  C  om  (/)  C
3523, 32, 343imtr4d 192 . . . . . 6  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
3635ex 108 . . . . 5  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
3736com23 72 . . . 4  om  om  C  om  C  .o  C  .o  (/)  C
3817, 37mpdd 36 . . 3  om  om  C  om  C  .o  C  .o
3938, 17jcad 291 . 2  om  om  C  om  C  .o  C  .o  (/)  C
405, 39impbid 120 1  om  om  C  om  (/)  C  C  .o  C  .o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201   (/)c0 3218   omcom 4256  (class class class)co 5455    .o comu 5938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945
This theorem is referenced by:  nnmword  6027  ltmpig  6323
  Copyright terms: Public domain W3C validator