Theorem nnmcan 6028

Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcan	|- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))

Proof of Theorem nnmcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anrot 889	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) <-> (B e. om /\ C e. om /\ A e. om))
2		nnmword 6027	. . . . 5 |- (((B e. om /\ C e. om /\ A e. om) /\ (/) e. A) -> (B C_ C <-> (A .o B) C_ (A .o C)))
3	1, 2	sylanb 268	. . . 4 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> (B C_ C <-> (A .o B) C_ (A .o C)))
4		3anrev 894	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) <-> ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om))
5		nnmword 6027	. . . . 5 |- ((( C e. om /\ B e. om /\ A e. om) /\ (/) e. A) -> ( C C_ B <-> (A .o C) C_ (A .o B)))
6	4, 5	sylanb 268	. . . 4 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ( C C_ B <-> (A .o C) C_ (A .o B)))
7	3, 6	anbi12d 442	. . 3 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((B C_ C /\ C C_ B) <-> ((A .o B) C_ (A .o C) /\ (A .o C) C_ (A .o B))))
8	7	bicomd 129	. 2 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> (((A .o B) C_ (A .o C) /\ (A .o C) C_ (A .o B)) <-> (B C_ C /\ C C_ B)))
9		eqss 2954	. 2 |- ((A .o B) = (A .o C) <-> ((A .o B) C_ (A .o C) /\ (A .o C) C_ (A .o B)))
10		eqss 2954	. 2 |- (B = C <-> (B C_ C /\ C C_ B))
11	8, 9, 10	3bitr4g 212	1 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   C_ wss 2911   (/)c0 3218   omcom 4256  (class class class)co 5455   .o comu 5938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945

This theorem is referenced by:  mulcanpig  6319  enq0tr  6417