ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaordi Unicode version

Theorem nnaordi 6081
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
2 oveq2 5520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
31, 2eleq12d 2108 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) ) )
43imbi2d 219 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( B  e. 
om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x
) )  <->  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C
) ) ) )
5 oveq2 5520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
6 oveq2 5520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
75, 6eleq12d 2108 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( B  +o  (/) ) ) )
8 oveq2 5520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
9 oveq2 5520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
108, 9eleq12d 2108 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y ) ) )
11 oveq2 5520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
12 oveq2 5520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12eleq12d 2108 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x )  <-> 
( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y
) ) )
14 simpr 103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  B )
15 elnn 4328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
1615ancoms 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
17 nna0 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
19 nna0 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2019adantr 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2114, 18, 203eltr4d 2121 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( B  +o  (/) ) )
22 simprl 483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  B  e.  om )
23 simpl 102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  y  e.  om )
24 nnacl 6059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
2522, 23, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  y )  e.  om )
26 nnsucelsuc 6070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  om  ->  (
( A  +o  y
)  e.  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  e. 
suc  ( B  +o  y ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  e.  suc  ( B  +o  y
) ) )
2816adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  om )
29 nnon 4332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  On )
31 nnon 4332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  On )
3231adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  y  e.  On )
33 oasuc 6044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
3430, 32, 33syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y ) )
35 nnon 4332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
3635ad2antrl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  B  e.  On )
37 oasuc 6044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3836, 32, 37syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
3934, 38eleq12d 2108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  e. 
suc  ( B  +o  y ) ) )
4027, 39bitr4d 180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  <->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y
) ) )
4140biimpd 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y ) ) )
4241ex 108 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
437, 10, 13, 21, 42finds2 4324 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  x )  e.  ( B  +o  x ) ) )
444, 43vtoclga 2619 . . . . . 6  |-  ( C  e.  om  ->  (
( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) ) )
4544imp 115 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  C )  e.  ( B  +o  C ) )
4616adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  A  e.  om )
47 simpl 102 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  C  e.  om )
48 nnacom 6063 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  +o  C
)  =  ( C  +o  A ) )
4946, 47, 48syl2anc 391 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( A  +o  C )  =  ( C  +o  A ) )
50 nnacom 6063 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  +o  C
)  =  ( C  +o  B ) )
5150ancoms 255 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  C
)  =  ( C  +o  B ) )
5251adantrr 448 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( B  +o  C )  =  ( C  +o  B ) )
5345, 49, 523eltr3d 2120 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  A  e.  B ) )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
54533impb 1100 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
55543com12 1108 . 2  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
56553expia 1106 1  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   (/)c0 3224   Oncon0 4100   suc csuc 4102   omcom 4313  (class class class)co 5512    +o coa 5998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005
This theorem is referenced by:  nnaord  6082  nnmordi  6089  addclpi  6425  addnidpig  6434  archnqq  6515  prarloclemarch2  6517  prarloclemlt  6591
  Copyright terms: Public domain W3C validator