Theorem nnacan 6085

Description: Cancellation law for addition of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnacan	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem nnacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaword 6084	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. om ) -> ( B C_ C <-> ( A +o B ) C_ ( A +o C ) ) )
2	1	3comr 1112	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( B C_ C <-> ( A +o B ) C_ ( A +o C ) ) )
3		nnaword 6084	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om ) -> ( C C_ B <-> ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) )
4	3	3com13 1109	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C C_ B <-> ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) )
5	2, 4	anbi12d 442	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( B C_ C /\ C C_ B ) <-> ( ( A +o B ) C_ ( A +o C ) /\ ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) ) )
6	5	bicomd 129	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( ( A +o B ) C_ ( A +o C ) /\ ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) ) )
7		eqss 2960	. 2 |- ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> ( ( A +o B ) C_ ( A +o C ) /\ ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) )
8		eqss 2960	. 2 |- ( B = C <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) )
9	6, 7, 8	3bitr4g 212	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   C_ wss 2917   omcom 4313  (class class class)co 5512   +o coa 5998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005

This theorem is referenced by:  addcanpig  6432