ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn2ge Unicode version

Theorem nn2ge 7946
Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnaddcl 7934 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  +  B
)  e.  NN )
2 0red 7028 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
3 nnre 7921 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
43adantl 262 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
5 nngt0 7939 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
65adantl 262 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
72, 4, 6ltled 7135 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  B )
8 nnre 7921 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
98adantr 261 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
109, 4addge01d 7524 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
117, 10mpbid 135 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
12 nngt0 7939 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
1312adantr 261 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
142, 9, 13ltled 7135 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  A )
154, 9addge02d 7525 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  <_  A  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
1614, 15mpbid 135 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
17 breq2 3768 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  +  B )  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
18 breq2 3768 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  +  B )  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
1917, 18anbi12d 442 . . 3  |-  ( x  =  ( A  +  B )  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  ( A  +  B )  /\  B  <_  ( A  +  B ) ) ) )
2019rspcev 2656 . 2  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  NN  /\  ( A  <_  ( A  +  B )  /\  B  <_  ( A  +  B ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
211, 11, 16, 20syl12anc 1133 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393   E.wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   RRcr 6888   0cc0 6889    + caddc 6892    < clt 7060    <_ cle 7061   NNcn 7914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-inn 7915
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator