Theorem nn0ex 8187

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8182	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 7920	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 7021	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 3937	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4176	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2110	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   u. cun 2915   {csn 3375   0cc0 6889   NNcn 7914   NN0cn0 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-i2m1 6989

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-inn 7915  df-n0 8182

This theorem is referenced by:  nn0ennn  9209  nnenom  9210