Theorem nfexd 1644

Description: If x is not free in ph, it is not free in E. y ph. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 7-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	|- F/ y ph
nfald.2	|- ( ph -> F/ x ps )

Assertion

Ref	Expression
nfexd	|- ( ph -> F/ x E. y ps )

Proof of Theorem nfexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfald.1	. . . . . . 7 |- F/ y ph
2	1	nfri 1412	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y ph )
3		nfald.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F/ x ps )
4		df-nf 1350	. . . . . . 7 |- ( F/ x ps <-> A. x ( ps -> A. x ps ) )
5	3, 4	sylib 127	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( ps -> A. x ps ) )
6	2, 5	alrimih 1358	. . . . 5 |- ( ph -> A. y A. x ( ps -> A. x ps ) )
7		alcom 1367	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( ps -> A. x ps ) <-> A. x A. y ( ps -> A. x ps ) )
8	6, 7	sylib 127	. . . 4 |- ( ph -> A. x A. y ( ps -> A. x ps ) )
9		exim 1490	. . . . 5 |- ( A. y ( ps -> A. x ps ) -> ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
10	9	alimi 1344	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ps -> A. x ps ) -> A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
11	8, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) )
12		19.12 1555	. . . . 5 |- ( E. y A. x ps -> A. x E. y ps )
13	12	imim2i 12	. . . 4 |- ( ( E. y ps -> E. y A. x ps ) -> ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
14	13	alimi 1344	. . 3 |- ( A. x ( E. y ps -> E. y A. x ps ) -> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
15	11, 14	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
16		df-nf 1350	. 2 |- ( F/ x E. y ps <-> A. x ( E. y ps -> A. x E. y ps ) )
17	15, 16	sylibr 137	1 |- ( ph -> F/ x E. y ps )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1241   F/wnf 1349   E.wex 1381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-4 1400  ax-ial 1427

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350

This theorem is referenced by:  nfsbxy  1818  nfsbxyt  1819  nfeudv  1915  nfmod  1917  nfeld  2193  nfrexdxy  2357