Theorem negneg 7261

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negneg	|- ( A e. CC -> -u -u A = A )

Proof of Theorem negneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7185	. . 3 |- -u -u A = ( 0 - -u A )
2		0cn 7019	. . . 4 |- 0 e. CC
3		subneg 7260	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - -u A ) = ( 0 + A ) )
4	2, 3	mpan 400	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 0 - -u A ) = ( 0 + A ) )
5	1, 4	syl5eq 2084	. 2 |- ( A e. CC -> -u -u A = ( 0 + A ) )
6		addid2 7152	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 + A ) = A )
7	5, 6	eqtrd 2072	1 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393  (class class class)co 5512   CCcc 6887   0cc0 6889   + caddc 6892   - cmin 7182   -ucneg 7183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-neg 7185

This theorem is referenced by:  neg11  7262  negcon1  7263  negreb  7276  negnegi  7281  negnegd  7313  mul2neg  7395  divneg2ap  7712  nnnegz  8248  znegclb  8278  expineg2  9264  shftcan2  9436