ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  muleqadd Unicode version

Theorem muleqadd 7431
Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 13-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
muleqadd  CC  CC  x.  +  -  1  x.  -  1  1

Proof of Theorem muleqadd
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 6776 . . . . 5  1  CC
2 mulsub 7194 . . . . . 6  CC  1  CC  CC  1  CC  -  1  x.  - 
1  x.  +  1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
31, 2mpanr2 414 . . . . 5  CC  1  CC  CC  - 
1  x.  -  1  x.  +  1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
41, 3mpanl2 411 . . . 4  CC  CC  - 
1  x.  -  1  x.  +  1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1
51mulid1i 6827 . . . . . . 7  1  x.  1  1
65oveq2i 5466 . . . . . 6  x.  +  1  x.  1  x.  +  1
76a1i 9 . . . . 5  CC  CC  x.  + 
1  x.  1  x.  +  1
8 mulid1 6822 . . . . . 6  CC  x.  1
9 mulid1 6822 . . . . . 6  CC  x.  1
108, 9oveqan12d 5474 . . . . 5  CC  CC  x.  1  +  x.  1  +
117, 10oveq12d 5473 . . . 4  CC  CC  x.  +  1  x.  1  -  x.  1  +  x.  1  x.  +  1  -  +
12 mulcl 6806 . . . . 5  CC  CC  x.  CC
13 addcl 6804 . . . . 5  CC  CC  +  CC
14 addsub 7019 . . . . . 6  x.  CC  1  CC  +  CC  x.  +  1  -  +  x.  -  +  +  1
151, 14mp3an2 1219 . . . . 5  x.  CC  +  CC  x.  +  1  -  +  x.  -  +  +  1
1612, 13, 15syl2anc 391 . . . 4  CC  CC  x.  + 
1  -  +  x.  -  +  +  1
174, 11, 163eqtrd 2073 . . 3  CC  CC  - 
1  x.  -  1  x.  -  +  +  1
1817eqeq1d 2045 . 2  CC  CC  -  1  x.  -  1  1  x.  -  +  +  1  1
191addid2i 6953 . . . 4  0  +  1  1
2019eqeq2i 2047 . . 3  x.  -  +  +  1  0  +  1  x.  -  +  +  1  1
2112, 13subcld 7118 . . . 4  CC  CC  x.  -  +  CC
22 0cn 6817 . . . . 5  0  CC
23 addcan2 6989 . . . . 5  x.  -  +  CC  0  CC  1  CC  x.  -  +  +  1  0  +  1  x.  -  +  0
2422, 1, 23mp3an23 1223 . . . 4  x.  -  +  CC  x.  -  +  +  1  0  +  1  x.  -  +  0
2521, 24syl 14 . . 3  CC  CC  x.  -  +  +  1  0  +  1  x.  -  +  0
2620, 25syl5rbbr 184 . 2  CC  CC  x.  -  +  0  x.  -  +  +  1  1
2712, 13subeq0ad 7128 . 2  CC  CC  x.  -  +  0  x.  +
2818, 26, 273bitr2rd 206 1  CC  CC  x.  +  -  1  x.  -  1  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455   CCcc 6709   0cc0 6711   1c1 6712    + caddc 6714    x. cmul 6716    - cmin 6979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-neg 6982
This theorem is referenced by:  conjmulap  7487
  Copyright terms: Public domain W3C validator