Theorem mulclsr 6839

Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclsr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )

Proof of Theorem mulclsr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6812	. . 3 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5519	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) )
3	2	eleq1d 2106	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
4		oveq2 5520	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A .R B ) )
5	4	eleq1d 2106	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A .R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
6		mulsrpr 6831	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R )
7		mulclpr 6670	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x .P. z ) e. P. )
8		mulclpr 6670	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y .P. w ) e. P. )
9		addclpr 6635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .P. z ) e. P. /\ ( y .P. w ) e. P. ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
10	7, 8, 9	syl2an 273	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ z e. P. ) /\ ( y e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
11	10	an4s 522	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
12		mulclpr 6670	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ w e. P. ) -> ( x .P. w ) e. P. )
13		mulclpr 6670	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( y .P. z ) e. P. )
14		addclpr 6635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .P. w ) e. P. /\ ( y .P. z ) e. P. ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
15	12, 13, 14	syl2an 273	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ w e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
16	15	an42s 523	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
17	11, 16	jca 290	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. /\ ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. ) )
18		opelxpi 4376	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. /\ ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. ) -> <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. e. ( P. X. P. ) )
19		enrex 6822	. . . . . 6 |- ~R e. _V
20	19	ecelqsi 6160	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
21	17, 18, 20	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
22	6, 21	eqeltrd 2114	. . 3 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
23	1, 3, 5, 22	2ecoptocl 6194	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
24	23, 1	syl6eleqr 2131	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   X. cxp 4343  (class class class)co 5512   [cec 6104   /.cqs 6105   P.cnp 6389   +P. cpp 6391   .P. cmp 6392   ~R cer 6394   R.cnr 6395   .R cmr 6400

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-imp 6567  df-enr 6811  df-nr 6812  df-mr 6814

This theorem is referenced by:  pn0sr  6856  negexsr  6857  caucvgsrlemoffval  6880  caucvgsrlemofff  6881  mulcnsr  6911  mulresr  6914  mulcnsrec  6919  axmulcl  6942  axmulrcl  6943  axmulcom  6945  axmulass  6947  axdistr  6948  axrnegex  6953