Theorem mptexg 5329

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	|- (A e. V -> (x e. A |-> B) e. _V)

Distinct variable group:   x,A

Allowed substitution hints:   B(x)   V(x)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 4881	. 2 |- Fun (x e. A |-> B)
2		eqid 2037	. . . 4 |- (x e. A |-> B) = (x e. A |-> B)
3	2	dmmptss 4760	. . 3 |- dom (x e. A |-> B) C_ A
4		ssexg 3887	. . 3 |- (( dom (x e. A |-> B) C_ A /\ A e. V) -> dom (x e. A |-> B) e. _V)
5	3, 4	mpan 400	. 2 |- (A e. V -> dom (x e. A |-> B) e. _V)
6		funex 5327	. 2 |- (( Fun (x e. A |-> B) /\ dom (x e. A |-> B) e. _V) -> (x e. A |-> B) e. _V)
7	1, 5, 6	sylancr 393	1 |- (A e. V -> (x e. A |-> B) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   C_ wss 2911   |-> cmpt 3809   dom cdm 4288   Fun wfun 4839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  mptex  5330  offval  5661  abrexexg  5687  xpexgALT  5702  offval3  5703  iunon  5840