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Theorem mpt22eqb 5610
Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnov2 5608. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mpt22eqb  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D )
)
Distinct variable groups:    x, y, A   
y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)    D( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem mpt22eqb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm13.183 2681 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  =  D  <->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) ) )
21ralimi 2384 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. y  e.  B  ( C  =  D  <->  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
3 ralbi 2445 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( C  =  D  <->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) )  ->  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
54ralimi 2384 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
6 ralbi 2445 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
8 df-mpt2 5517 . . . 4  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
9 df-mpt2 5517 . . . 4  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) }
108, 9eqeq12i 2053 . . 3  |-  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D ) } )
11 eqoprab2b 5563 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D ) }  <->  A. x A. y A. z ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) ) )
12 pm5.32 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  =  C  <->  z  =  D ) )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) ) )
1312albii 1359 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
z  =  C  <->  z  =  D ) )  <->  A. z
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) ) )
14 19.21v 1753 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
z  =  C  <->  z  =  D ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
1513, 14bitr3i 175 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
)  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
16152albii 1360 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) ) )
17 r2al 2343 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D )  <->  A. x A. y
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) ) )
1816, 17bitr4i 176 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) )
1910, 11, 183bitri 195 . 2  |-  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) )
207, 19syl6rbbr 188 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98   A.wal 1241    = wceq 1243    e. wcel 1393   A.wral 2306   {coprab 5513    |-> cmpt2 5514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-oprab 5516  df-mpt2 5517
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