Theorem mosubt 2718

Description: "At most one" remains true after substitution. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mosubt	|- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mosubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eueq 2712	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E! y y = A )
2		isset 2561	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E. y y = A )
3	1, 2	bitr3i 175	. . . . 5 |- ( E! y y = A <-> E. y y = A )
4		nfv 1421	. . . . . 6 |- F/ x y = A
5	4	euexex 1985	. . . . 5 |- ( ( E! y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
6	3, 5	sylanbr 269	. . . 4 |- ( ( E. y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
7	6	expcom 109	. . 3 |- ( A. y E* x ph -> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
8		moanimv 1975	. . 3 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) <-> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
9	7, 8	sylibr 137	. 2 |- ( A. y E* x ph -> E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
10		simpl 102	. . . . 5 |- ( ( y = A /\ ph ) -> y = A )
11	10	eximi 1491	. . . 4 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> E. y y = A )
12	11	ancri 307	. . 3 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
13	12	moimi 1965	. 2 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
14	9, 13	syl 14	1 |- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   E!weu 1900   E*wmo 1901   _Vcvv 2557

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-v 2559

This theorem is referenced by:  mosub  2719