Theorem mosubopt 4405

Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mosubopt	|- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfa1 1434	. . 3 |- F/ y A. y A. z E* x ph
2		nfe1 1385	. . . 4 |- F/ y E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
3	2	nfmo 1920	. . 3 |- F/ y E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
4		nfa1 1434	. . . . 5 |- F/ z A. z E* x ph
5		nfe1 1385	. . . . . . 7 |- F/ z E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
6	5	nfex 1528	. . . . . 6 |- F/ z E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
7	6	nfmo 1920	. . . . 5 |- F/ z E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
8		copsexg 3981	. . . . . . . 8 |- ( A = <. y , z >. -> ( ph <-> E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
9	8	mobidv 1936	. . . . . . 7 |- ( A = <. y , z >. -> ( E* x ph <-> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
10	9	biimpcd 148	. . . . . 6 |- ( E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
11	10	sps 1430	. . . . 5 |- ( A. z E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
12	4, 7, 11	exlimd 1488	. . . 4 |- ( A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
13	12	sps 1430	. . 3 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
14	1, 3, 13	exlimd 1488	. 2 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
15		moanimv 1975	. . 3 |- ( E* x ( E. y E. z A = <. y , z >. /\ E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) <-> ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
16		simpl 102	. . . . . 6 |- ( ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> A = <. y , z >. )
17	16	2eximi 1492	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> E. y E. z A = <. y , z >. )
18	17	ancri 307	. . . 4 |- ( E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> ( E. y E. z A = <. y , z >. /\ E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
19	18	moimi 1965	. . 3 |- ( E* x ( E. y E. z A = <. y , z >. /\ E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
20	15, 19	sylbir 125	. 2 |- ( ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
21	14, 20	syl 14	1 |- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   E*wmo 1901   <.cop 3378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384

This theorem is referenced by:  mosubop  4406  funoprabg  5600