Theorem mo2n 1928

Description: There is at most one of something which does not exist. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
mon.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
mo2n	|- ( -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mo2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon.1	. . 3 |- F/ y ph
2	1	sb8e 1737	. 2 |- ( E. x ph <-> E. y [ y / x ] ph )
3		alnex 1388	. . 3 |- ( A. y -. [ y / x ] ph <-> -. E. y [ y / x ] ph )
4		nfs1v 1815	. . . . . 6 |- F/ x [ y / x ] ph
5	4	nfn 1548	. . . . 5 |- F/ x -. [ y / x ] ph
6	1	nfn 1548	. . . . 5 |- F/ y -. ph
7		sbequ1 1651	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ph -> [ y / x ] ph ) )
8	7	equcoms 1594	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ph -> [ y / x ] ph ) )
9	8	con3d 561	. . . . 5 |- ( y = x -> ( -. [ y / x ] ph -> -. ph ) )
10	5, 6, 9	cbv3 1630	. . . 4 |- ( A. y -. [ y / x ] ph -> A. x -. ph )
11		pm2.21 547	. . . . 5 |- ( -. ph -> ( ph -> x = y ) )
12	11	alimi 1344	. . . 4 |- ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> x = y ) )
13		19.8a 1482	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
14	10, 12, 13	3syl 17	. . 3 |- ( A. y -. [ y / x ] ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
15	3, 14	sylbir 125	. 2 |- ( -. E. y [ y / x ] ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
16	2, 15	sylnbi 603	1 |- ( -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1241   F/wnf 1349   E.wex 1381   [wsb 1645

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-11 1397  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646

This theorem is referenced by:  modc  1943