Theorem m1expcl2 8931

Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expcl2	|- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N) e. { -u 1 , 1 })

Proof of Theorem m1expcl2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 7800	. . 3 |- -u 1 e. CC
2		prid1g 3465	. . 3 |- ( -u 1 e. CC -> -u 1 e. { -u 1 , 1 })
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- -u 1 e. { -u 1 , 1 }
4		neg1ap0 7804	. 2 |- -u 1 # 0
5		ax-1cn 6776	. . . 4 |- 1 e. CC
6		prssi 3513	. . . 4 |- (( -u 1 e. CC /\ 1 e. CC) -> { -u 1 , 1 } C_ CC)
7	1, 5, 6	mp2an 402	. . 3 |- { -u 1 , 1 } C_ CC
8		elpri 3387	. . . . 5 |- (x e. { -u 1 , 1 } -> (x = -u 1 \/ x = 1))
9	7	sseli 2935	. . . . . . . . 9 |- (y e. { -u 1 , 1 } -> y e. CC)
10	9	mulm1d 7203	. . . . . . . 8 |- (y e. { -u 1 , 1 } -> ( -u 1 x. y) = -uy)
11		elpri 3387	. . . . . . . . 9 |- (y e. { -u 1 , 1 } -> (y = -u 1 \/ y = 1))
12		negeq 7001	. . . . . . . . . . 11 |- (y = -u 1 -> -uy = -u -u 1)
13		negneg1e1 7805	. . . . . . . . . . . 12 |- -u -u 1 = 1
14		1ex 6820	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. _V
15	14	prid2 3468	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. { -u 1 , 1 }
16	13, 15	eqeltri 2107	. . . . . . . . . . 11 |- -u -u 1 e. { -u 1 , 1 }
17	12, 16	syl6eqel 2125	. . . . . . . . . 10 |- (y = -u 1 -> -uy e. { -u 1 , 1 })
18		negeq 7001	. . . . . . . . . . 11 |- (y = 1 -> -uy = -u 1)
19	18, 3	syl6eqel 2125	. . . . . . . . . 10 |- (y = 1 -> -uy e. { -u 1 , 1 })
20	17, 19	jaoi 635	. . . . . . . . 9 |- ((y = -u 1 \/ y = 1) -> -uy e. { -u 1 , 1 })
21	11, 20	syl 14	. . . . . . . 8 |- (y e. { -u 1 , 1 } -> -uy e. { -u 1 , 1 })
22	10, 21	eqeltrd 2111	. . . . . . 7 |- (y e. { -u 1 , 1 } -> ( -u 1 x. y) e. { -u 1 , 1 })
23		oveq1 5462	. . . . . . . 8 |- (x = -u 1 -> (x x. y) = ( -u 1 x. y))
24	23	eleq1d 2103	. . . . . . 7 |- (x = -u 1 -> ((x x. y) e. { -u 1 , 1 } <-> ( -u 1 x. y) e. { -u 1 , 1 }))
25	22, 24	syl5ibr 145	. . . . . 6 |- (x = -u 1 -> (y e. { -u 1 , 1 } -> (x x. y) e. { -u 1 , 1 }))
26	9	mulid2d 6843	. . . . . . . 8 |- (y e. { -u 1 , 1 } -> ( 1 x. y) = y)
27		id 19	. . . . . . . 8 |- (y e. { -u 1 , 1 } -> y e. { -u 1 , 1 })
28	26, 27	eqeltrd 2111	. . . . . . 7 |- (y e. { -u 1 , 1 } -> ( 1 x. y) e. { -u 1 , 1 })
29		oveq1 5462	. . . . . . . 8 |- (x = 1 -> (x x. y) = ( 1 x. y))
30	29	eleq1d 2103	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> ((x x. y) e. { -u 1 , 1 } <-> ( 1 x. y) e. { -u 1 , 1 }))
31	28, 30	syl5ibr 145	. . . . . 6 |- (x = 1 -> (y e. { -u 1 , 1 } -> (x x. y) e. { -u 1 , 1 }))
32	25, 31	jaoi 635	. . . . 5 |- ((x = -u 1 \/ x = 1) -> (y e. { -u 1 , 1 } -> (x x. y) e. { -u 1 , 1 }))
33	8, 32	syl 14	. . . 4 |- (x e. { -u 1 , 1 } -> (y e. { -u 1 , 1 } -> (x x. y) e. { -u 1 , 1 }))
34	33	imp 115	. . 3 |- ((x e. { -u 1 , 1 } /\ y e. { -u 1 , 1 }) -> (x x. y) e. { -u 1 , 1 })
35		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- (x = -u 1 -> ( 1 / x) = ( 1 / -u 1))
36		1ap0 7374	. . . . . . . . . 10 |- 1 # 0
37		divneg2ap 7494	. . . . . . . . . 10 |- (( 1 e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 # 0) -> -u( 1 / 1) = ( 1 / -u 1))
38	5, 5, 36, 37	mp3an 1231	. . . . . . . . 9 |- -u( 1 / 1) = ( 1 / -u 1)
39		1div1e1 7463	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1) = 1
40	39	negeqi 7002	. . . . . . . . 9 |- -u( 1 / 1) = -u 1
41	38, 40	eqtr3i 2059	. . . . . . . 8 |- ( 1 / -u 1) = -u 1
42	41, 3	eqeltri 2107	. . . . . . 7 |- ( 1 / -u 1) e. { -u 1 , 1 }
43	35, 42	syl6eqel 2125	. . . . . 6 |- (x = -u 1 -> ( 1 / x) e. { -u 1 , 1 })
44		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> ( 1 / x) = ( 1 / 1))
45	39, 15	eqeltri 2107	. . . . . . 7 |- ( 1 / 1) e. { -u 1 , 1 }
46	44, 45	syl6eqel 2125	. . . . . 6 |- (x = 1 -> ( 1 / x) e. { -u 1 , 1 })
47	43, 46	jaoi 635	. . . . 5 |- ((x = -u 1 \/ x = 1) -> ( 1 / x) e. { -u 1 , 1 })
48	8, 47	syl 14	. . . 4 |- (x e. { -u 1 , 1 } -> ( 1 / x) e. { -u 1 , 1 })
49	48	adantr 261	. . 3 |- ((x e. { -u 1 , 1 } /\ x # 0) -> ( 1 / x) e. { -u 1 , 1 })
50	7, 34, 15, 49	expcl2lemap 8921	. 2 |- (( -u 1 e. { -u 1 , 1 } /\ -u 1 # 0 /\ N e. ZZ) -> ( -u 1 ^ N) e. { -u 1 , 1 })
51	3, 4, 50	mp3an12 1221	1 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N) e. { -u 1 , 1 })

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 628   = wceq 1242   e. wcel 1390   C_ wss 2911   {cpr 3368   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   0cc0 6711   1c1 6712   x. cmul 6716   -ucneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433   ZZcz 8021   ^cexp 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909

This theorem is referenced by:  m1expcl  8932