ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Unicode version

Theorem m1expcl2 9277
Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  { -u 1 ,  1 } )

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 8022 . . 3  |-  -u 1  e.  CC
2 prid1g 3474 . . 3  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  -u
1  e.  { -u
1 ,  1 } )
31, 2ax-mp 7 . 2  |-  -u 1  e.  { -u 1 ,  1 }
4 neg1ap0 8026 . 2  |-  -u 1 #  0
5 ax-1cn 6977 . . . 4  |-  1  e.  CC
6 prssi 3522 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  { -u 1 ,  1 }  C_  CC )
71, 5, 6mp2an 402 . . 3  |-  { -u
1 ,  1 } 
C_  CC
8 elpri 3398 . . . . 5  |-  ( x  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
) )
97sseli 2941 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  y  e.  CC )
109mulm1d 7407 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  (
-u 1  x.  y
)  =  -u y
)
11 elpri 3398 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( y  =  -u 1  \/  y  =  1
) )
12 negeq 7204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u 1  ->  -u y  =  -u -u 1 )
13 negneg1e1 8027 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
14 1ex 7022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  _V
1514prid2 3477 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  { -u 1 ,  1 }
1613, 15eqeltri 2110 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 1  e.  { -u 1 ,  1 }
1712, 16syl6eqel 2128 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -u 1  ->  -u y  e.  { -u 1 ,  1 } )
18 negeq 7204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  -u y  =  -u 1 )
1918, 3syl6eqel 2128 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  -u y  e.  { -u 1 ,  1 } )
2017, 19jaoi 636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  -u 1  \/  y  =  1
)  ->  -u y  e. 
{ -u 1 ,  1 } )
2111, 20syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  -u y  e.  { -u 1 ,  1 } )
2210, 21eqeltrd 2114 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  (
-u 1  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 } )
23 oveq1 5519 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
x  x.  y )  =  ( -u 1  x.  y ) )
2423eleq1d 2106 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 }  <-> 
( -u 1  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 } ) )
2522, 24syl5ibr 145 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
y  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
269mulid2d 7045 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
27 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  y  e.  { -u 1 ,  1 } )
2826, 27eqeltrd 2114 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( 1  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } )
29 oveq1 5519 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  x.  y )  =  ( 1  x.  y ) )
3029eleq1d 2106 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 }  <-> 
( 1  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 } ) )
3128, 30syl5ibr 145 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
y  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
3225, 31jaoi 636 . . . . 5  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  (
x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
338, 32syl 14 . . . 4  |-  ( x  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( y  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
3433imp 115 . . 3  |-  ( ( x  e.  { -u
1 ,  1 }  /\  y  e.  { -u 1 ,  1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } )
35 oveq2 5520 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
36 1ap0 7581 . . . . . . . . . 10  |-  1 #  0
37 divneg2ap 7712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1 #  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
385, 5, 36, 37mp3an 1232 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
39 1div1e1 7681 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
4039negeqi 7205 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
4138, 40eqtr3i 2062 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
4241, 3eqeltri 2110 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  -u 1 )  e. 
{ -u 1 ,  1 }
4335, 42syl6eqel 2128 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
44 oveq2 5520 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
1 ) )
4539, 15eqeltri 2110 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  e. 
{ -u 1 ,  1 }
4644, 45syl6eqel 2128 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
4743, 46jaoi 636 . . . . 5  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( 1  /  x )  e. 
{ -u 1 ,  1 } )
488, 47syl 14 . . . 4  |-  ( x  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
4948adantr 261 . . 3  |-  ( ( x  e.  { -u
1 ,  1 }  /\  x #  0 )  ->  ( 1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
507, 34, 15, 49expcl2lemap 9267 . 2  |-  ( (
-u 1  e.  { -u 1 ,  1 }  /\  -u 1 #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  { -u 1 ,  1 } )
513, 4, 50mp3an12 1222 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  { -u 1 ,  1 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 629    = wceq 1243    e. wcel 1393    C_ wss 2917   {cpr 3376   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   CCcc 6887   0cc0 6889   1c1 6890    x. cmul 6894   -ucneg 7183   # cap 7572    / cdiv 7651   ZZcz 8245   ^cexp 9254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212  df-iexp 9255
This theorem is referenced by:  m1expcl  9278
  Copyright terms: Public domain W3C validator