Theorem ltrelxr 6877

Description: 'Less than' is a relation on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelxr	|- < C_ ( RR* X. RR*)

Proof of Theorem ltrelxr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltxr 6862	. 2 |- < = ( { <.x , y >. | (x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y) } u. ((( RR u. { -oo }) X. { +oo }) u. ( { -oo } X. RR)))
2		df-3an 886	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y) <-> ((x e. RR /\ y e. RR) /\ x <RR y))
3	2	opabbii 3815	. . . . 5 |- { <.x , y >. | (x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y) } = { <.x , y >. | ((x e. RR /\ y e. RR) /\ x <RR y) }
4		opabssxp 4357	. . . . 5 |- { <.x , y >. | ((x e. RR /\ y e. RR) /\ x <RR y) } C_ ( RR X. RR)
5	3, 4	eqsstri 2969	. . . 4 |- { <.x , y >. | (x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y) } C_ ( RR X. RR)
6		rexpssxrxp 6867	. . . 4 |- ( RR X. RR) C_ ( RR* X. RR*)
7	5, 6	sstri 2948	. . 3 |- { <.x , y >. | (x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y) } C_ ( RR* X. RR*)
8		ressxr 6866	. . . . . 6 |- RR C_ RR*
9		snsspr2 3504	. . . . . . 7 |- { -oo } C_ { +oo , -oo }
10		ssun2 3101	. . . . . . . 8 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo })
11		df-xr 6861	. . . . . . . 8 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo })
12	10, 11	sseqtr4i 2972	. . . . . . 7 |- { +oo , -oo } C_ RR*
13	9, 12	sstri 2948	. . . . . 6 |- { -oo } C_ RR*
14	8, 13	unssi 3112	. . . . 5 |- ( RR u. { -oo }) C_ RR*
15		snsspr1 3503	. . . . . 6 |- { +oo } C_ { +oo , -oo }
16	15, 12	sstri 2948	. . . . 5 |- { +oo } C_ RR*
17		xpss12 4388	. . . . 5 |- ((( RR u. { -oo }) C_ RR* /\ { +oo } C_ RR*) -> (( RR u. { -oo }) X. { +oo }) C_ ( RR* X. RR*))
18	14, 16, 17	mp2an 402	. . . 4 |- (( RR u. { -oo }) X. { +oo }) C_ ( RR* X. RR*)
19		xpss12 4388	. . . . 5 |- (( { -oo } C_ RR* /\ RR C_ RR*) -> ( { -oo } X. RR) C_ ( RR* X. RR*))
20	13, 8, 19	mp2an 402	. . . 4 |- ( { -oo } X. RR) C_ ( RR* X. RR*)
21	18, 20	unssi 3112	. . 3 |- ((( RR u. { -oo }) X. { +oo }) u. ( { -oo } X. RR)) C_ ( RR* X. RR*)
22	7, 21	unssi 3112	. 2 |- ( { <.x , y >. | (x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y) } u. ((( RR u. { -oo }) X. { +oo }) u. ( { -oo } X. RR))) C_ ( RR* X. RR*)
23	1, 22	eqsstri 2969	1 |- < C_ ( RR* X. RR*)

Syntax hints:   /\ wa 97   /\ w3a 884   e. wcel 1390   u. cun 2909   C_ wss 2911   {csn 3367   {cpr 3368   class class class wbr 3755   {copab 3808   X. cxp 4286   RRcr 6710   <RR cltrr 6715   +oocpnf 6854   -oocmnf 6855   RR*cxr 6856   < clt 6857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pr 3374  df-opab 3810  df-xp 4294  df-xr 6861  df-ltxr 6862

This theorem is referenced by:  ltrel  6878