Theorem ltaddpos2 7243

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 8-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddpos2	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ( 0 < A <-> B < (A + B)))

Proof of Theorem ltaddpos2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddpos 7242	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ( 0 < A <-> B < (B + A)))
2		recn 6812	. . . 4 |- (A e. RR -> A e. CC)
3		recn 6812	. . . 4 |- (B e. RR -> B e. CC)
4		addcom 6947	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) = (B + A))
5	2, 3, 4	syl2an 273	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) = (B + A))
6	5	breq2d 3767	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (B < (A + B) <-> B < (B + A)))
7	1, 6	bitr4d 180	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ( 0 < A <-> B < (A + B)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242   e. wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711   + caddc 6714   < clt 6857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862

This theorem is referenced by:  ltaddpos2d  7316  nn1gt1  7728