Theorem le2tri3i 6923

Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
le2tri3i	|- ((A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A) <-> (A = B /\ B = C /\ C = A))

Proof of Theorem le2tri3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . . . . 6 |- B e. RR
2		lt.3	. . . . . 6 |- C e. RR
3		lt.1	. . . . . 6 |- A e. RR
4	1, 2, 3	letri 6922	. . . . 5 |- ((B <_ C /\ C <_ A) -> B <_ A)
5	3, 1	letri3i 6913	. . . . . 6 |- (A = B <-> (A <_ B /\ B <_ A))
6	5	biimpri 124	. . . . 5 |- ((A <_ B /\ B <_ A) -> A = B)
7	4, 6	sylan2 270	. . . 4 |- ((A <_ B /\ (B <_ C /\ C <_ A)) -> A = B)
8	7	3impb 1099	. . 3 |- ((A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A) -> A = B)
9	2, 3, 1	letri 6922	. . . . . 6 |- (( C <_ A /\ A <_ B) -> C <_ B)
10	1, 2	letri3i 6913	. . . . . . 7 |- (B = C <-> (B <_ C /\ C <_ B))
11	10	biimpri 124	. . . . . 6 |- ((B <_ C /\ C <_ B) -> B = C)
12	9, 11	sylan2 270	. . . . 5 |- ((B <_ C /\ ( C <_ A /\ A <_ B)) -> B = C)
13	12	3impb 1099	. . . 4 |- ((B <_ C /\ C <_ A /\ A <_ B) -> B = C)
14	13	3comr 1111	. . 3 |- ((A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A) -> B = C)
15	3, 1, 2	letri 6922	. . . . 5 |- ((A <_ B /\ B <_ C) -> A <_ C)
16	3, 2	letri3i 6913	. . . . . . 7 |- (A = C <-> (A <_ C /\ C <_ A))
17	16	biimpri 124	. . . . . 6 |- ((A <_ C /\ C <_ A) -> A = C)
18	17	eqcomd 2042	. . . . 5 |- ((A <_ C /\ C <_ A) -> C = A)
19	15, 18	sylan 267	. . . 4 |- (((A <_ B /\ B <_ C) /\ C <_ A) -> C = A)
20	19	3impa 1098	. . 3 |- ((A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A) -> C = A)
21	8, 14, 20	3jca 1083	. 2 |- ((A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A) -> (A = B /\ B = C /\ C = A))
22	3	eqlei 6908	. . 3 |- (A = B -> A <_ B)
23	1	eqlei 6908	. . 3 |- (B = C -> B <_ C)
24	2	eqlei 6908	. . 3 |- ( C = A -> C <_ A)
25	22, 23, 24	3anim123i 1088	. 2 |- ((A = B /\ B = C /\ C = A) -> (A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A))
26	21, 25	impbii 117	1 |- ((A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A) <-> (A = B /\ B = C /\ C = A))

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   class class class wbr 3755   RRcr 6710   <_ cle 6858

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-apti 6798

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863

This theorem is referenced by: (None)