Theorem iunun 3734

Description: Separate a union in an indexed union. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunun	|- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Proof of Theorem iunun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.43 2468	. . . 4 |- ( E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
2		elun 3084	. . . . 5 |- ( y e. ( B u. C ) <-> ( y e. B \/ y e. C ) )
3	2	rexbii 2331	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) )
4		eliun 3661	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5		eliun 3661	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
6	4, 5	orbi12i 681	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
7	1, 3, 6	3bitr4i 201	. . 3 |- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
8		eliun 3661	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> E. x e. A y e. ( B u. C ) )
9		elun 3084	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
10	7, 8, 9	3bitr4i 201	. 2 |- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) )
11	10	eqriv 2037	1 |- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Syntax hints:   \/ wo 629   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2307   u. cun 2915   U_ciun 3657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-iun 3659

This theorem is referenced by: (None)