ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iss Structured version   Unicode version

Theorem iss 4597
Description: A subclass of the identity function is the identity function restricted to its domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
iss 
C_  _I  _I  |`  dom

Proof of Theorem iss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . . . . . 7 
C_  _I  <. ,  >.  <. ,  >.  _I
2 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
3 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
42, 3opeldm 4481 . . . . . . . 8  <. ,  >.  dom
54a1i 9 . . . . . . 7 
C_  _I  <. ,  >. 
dom
61, 5jcad 291 . . . . . 6 
C_  _I  <. ,  >.  <. ,  >.  _I  dom
7 df-br 3756 . . . . . . . . 9  _I  <. ,  >.  _I
83ideq 4431 . . . . . . . . 9  _I
97, 8bitr3i 175 . . . . . . . 8  <. ,  >.  _I
102eldm2 4476 . . . . . . . . . 10  dom  <. ,  >.
11 opeq2 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >.  <. ,  >.
1211eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. , 
>.
1312biimprcd 149 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  <. ,  >.
149, 13syl5bi 141 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. , 
>.  _I  <. ,  >.
151, 14sylcom 25 . . . . . . . . . . 11 
C_  _I  <. ,  >.  <. ,  >.
1615exlimdv 1697 . . . . . . . . . 10 
C_  _I  <. , 
>.  <. ,  >.
1710, 16syl5bi 141 . . . . . . . . 9 
C_  _I  dom  <. ,  >.
1812imbi2d 219 . . . . . . . . 9  dom  <. ,  >.  dom  <. ,  >.
1917, 18syl5ibcom 144 . . . . . . . 8 
C_  _I  dom  <. , 
>.
209, 19syl5bi 141 . . . . . . 7 
C_  _I  <. ,  >.  _I  dom  <. ,  >.
2120impd 242 . . . . . 6 
C_  _I  <. , 
>.  _I  dom  <. ,  >.
226, 21impbid 120 . . . . 5 
C_  _I  <. ,  >.  <. ,  >.  _I  dom
233opelres 4560 . . . . 5  <. ,  >.  _I  |`  dom  <. , 
>.  _I  dom
2422, 23syl6bbr 187 . . . 4 
C_  _I  <. ,  >.  <. , 
>.  _I  |`  dom
2524alrimivv 1752 . . 3 
C_  _I  <. ,  >.  <. ,  >.  _I  |`  dom
26 reli 4408 . . . . 5  Rel  _I
27 relss 4370 . . . . 5 
C_  _I  Rel  _I  Rel
2826, 27mpi 15 . . . 4 
C_  _I  Rel
29 relres 4582 . . . 4  Rel  _I  |`  dom
30 eqrel 4372 . . . 4  Rel  Rel  _I  |`  dom  _I  |`  dom 
<. ,  >.  <. , 
>.  _I  |`  dom
3128, 29, 30sylancl 392 . . 3 
C_  _I  _I  |` 
dom  <. ,  >.  <. ,  >.  _I  |`  dom
3225, 31mpbird 156 . 2 
C_  _I  _I  |`  dom
33 resss 4578 . . 3  _I  |`  dom  C_  _I
34 sseq1 2960 . . 3  _I  |`  dom  C_  _I  _I  |`  dom  C_  _I
3533, 34mpbiri 157 . 2  _I  |`  dom  C_  _I
3632, 35impbii 117 1 
C_  _I  _I  |`  dom
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755    _I cid 4016   dom cdm 4288    |` cres 4290   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-dm 4298  df-res 4300
This theorem is referenced by:  funcocnv2  5094
  Copyright terms: Public domain W3C validator