ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqid3 Unicode version

Theorem iseqid3 9245
Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity  Z is for operation  .+) sums to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqid3.1  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
iseqid3.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqid3.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  =  Z )
iseqid3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iseqid3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  { Z } ) `  N )  =  Z )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, F   
x, M    ph, x    x, Z    x, N
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem iseqid3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqid3.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 iseqid3.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
3 snexg 3936 . . . 4  |-  ( Z  e.  V  ->  { Z }  e.  _V )
42, 3syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  { Z }  e.  _V )
5 iseqid3.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  =  Z )
6 elsn2g 3404 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  V  ->  (
( F `  x
)  e.  { Z } 
<->  ( F `  x
)  =  Z ) )
72, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  x )  e.  { Z }  <->  ( F `  x )  =  Z ) )
87adantr 261 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  x )  e.  { Z }  <->  ( F `  x )  =  Z ) )
95, 8mpbird 156 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  { Z } )
10 iseqid3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
11 elsn2g 3404 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  V  ->  (
( Z  .+  Z
)  e.  { Z } 
<->  ( Z  .+  Z
)  =  Z ) )
122, 11syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Z  .+  Z )  e.  { Z }  <->  ( Z  .+  Z )  =  Z ) )
1310, 12mpbird 156 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } )
14 elsni 3393 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { Z }  ->  x  =  Z )
15 elsni 3393 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { Z }  ->  y  =  Z )
1614, 15oveqan12d 5531 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  =  ( Z  .+  Z ) )
1716eleq1d 2106 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
( x  .+  y
)  e.  { Z } 
<->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } ) )
1813, 17syl5ibrcom 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  e.  { Z } ) )
1918imp 115 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  { Z } )
201, 4, 9, 19iseqcl 9223 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  { Z } ) `  N )  e.  { Z } )
21 elsni 3393 . 2  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  { Z } ) `  N
)  e.  { Z }  ->  (  seq M
(  .+  ,  F ,  { Z } ) `
 N )  =  Z )
2220, 21syl 14 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  { Z } ) `  N )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   ZZ>=cuz 8473    seqcseq 9211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator