Theorem iooshf 8591

Description: Shift the arguments of the open interval function. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iooshf	|- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> ((A - B) e. ( C (,) D) <-> A e. (( C + B) (,)( D + B))))

Proof of Theorem iooshf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddsub 7226	. . . . . 6 |- (( C e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) -> (( C + B) < A <-> C < (A - B)))
2	1	3com13 1108	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (( C + B) < A <-> C < (A - B)))
3	2	3expa 1103	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR) -> (( C + B) < A <-> C < (A - B)))
4	3	adantrr 448	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> (( C + B) < A <-> C < (A - B)))
5		ltsubadd 7222	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ D e. RR) -> ((A - B) < D <-> A < ( D + B)))
6	5	bicomd 129	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ D e. RR) -> (A < ( D + B) <-> (A - B) < D))
7	6	3expa 1103	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ D e. RR) -> (A < ( D + B) <-> (A - B) < D))
8	7	adantrl 447	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> (A < ( D + B) <-> (A - B) < D))
9	4, 8	anbi12d 442	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> ((( C + B) < A /\ A < ( D + B)) <-> ( C < (A - B) /\ (A - B) < D)))
10		readdcl 6805	. . . . . 6 |- (( C e. RR /\ B e. RR) -> ( C + B) e. RR)
11	10	rexrd 6872	. . . . 5 |- (( C e. RR /\ B e. RR) -> ( C + B) e. RR*)
12	11	ad2ant2rl 480	. . . 4 |- ((( C e. RR /\ D e. RR) /\ (A e. RR /\ B e. RR)) -> ( C + B) e. RR*)
13		readdcl 6805	. . . . . 6 |- (( D e. RR /\ B e. RR) -> ( D + B) e. RR)
14	13	rexrd 6872	. . . . 5 |- (( D e. RR /\ B e. RR) -> ( D + B) e. RR*)
15	14	ad2ant2l 477	. . . 4 |- ((( C e. RR /\ D e. RR) /\ (A e. RR /\ B e. RR)) -> ( D + B) e. RR*)
16		rexr 6868	. . . . 5 |- (A e. RR -> A e. RR*)
17	16	ad2antrl 459	. . . 4 |- ((( C e. RR /\ D e. RR) /\ (A e. RR /\ B e. RR)) -> A e. RR*)
18		elioo5 8572	. . . 4 |- ((( C + B) e. RR* /\ ( D + B) e. RR* /\ A e. RR*) -> (A e. (( C + B) (,)( D + B)) <-> (( C + B) < A /\ A < ( D + B))))
19	12, 15, 17, 18	syl3anc 1134	. . 3 |- ((( C e. RR /\ D e. RR) /\ (A e. RR /\ B e. RR)) -> (A e. (( C + B) (,)( D + B)) <-> (( C + B) < A /\ A < ( D + B))))
20	19	ancoms 255	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> (A e. (( C + B) (,)( D + B)) <-> (( C + B) < A /\ A < ( D + B))))
21		rexr 6868	. . . 4 |- ( C e. RR -> C e. RR*)
22	21	ad2antrl 459	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> C e. RR*)
23		rexr 6868	. . . 4 |- ( D e. RR -> D e. RR*)
24	23	ad2antll 460	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> D e. RR*)
25		resubcl 7071	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A - B) e. RR)
26	25	rexrd 6872	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A - B) e. RR*)
27	26	adantr 261	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> (A - B) e. RR*)
28		elioo5 8572	. . 3 |- (( C e. RR* /\ D e. RR* /\ (A - B) e. RR*) -> ((A - B) e. ( C (,) D) <-> ( C < (A - B) /\ (A - B) < D)))
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1134	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> ((A - B) e. ( C (,) D) <-> ( C < (A - B) /\ (A - B) < D)))
30	9, 20, 29	3bitr4rd 210	1 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( C e. RR /\ D e. RR)) -> ((A - B) e. ( C (,) D) <-> A e. (( C + B) (,)( D + B))))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   e. wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6710   + caddc 6714   RR*cxr 6856   < clt 6857   - cmin 6979   (,)cioo 8527

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-sub 6981  df-neg 6982  df-ioo 8531

This theorem is referenced by: (None)