Theorem intfracq 9162

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 9161. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	|- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
intfracq.2	|- F = ( ( M / N ) - Z )

Assertion

Ref	Expression
intfracq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znq 8559	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. QQ )
2		intfracq.1	. . . . 5 |- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
3		intfracq.2	. . . . 5 |- F = ( ( M / N ) - Z )
4	2, 3	intqfrac2 9161	. . . 4 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
6	5	simp1d 916	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ F )
7		qfraclt1 9122	. . . . . . 7 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
9	2	oveq2i 5523	. . . . . . . 8 |- ( ( M / N ) - Z ) = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
10	3, 9	eqtri 2060	. . . . . . 7 |- F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
11	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) )
12		simpr 103	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
13	12	nncnd 7928	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
14	12	nnap0d 7959	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N # 0 )
15	13, 14	dividapd 7762	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N / N ) = 1 )
16	8, 11, 15	3brtr4d 3794	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F < ( N / N ) )
17		qre 8560	. . . . . . . . 9 |- ( ( M / N ) e. QQ -> ( M / N ) e. RR )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. RR )
19	1	flqcld 9119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( M / N ) ) e. ZZ )
20	2, 19	syl5eqel 2124	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. ZZ )
21	20	zred 8360	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. RR )
22	18, 21	resubcld 7379	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - Z ) e. RR )
23	3, 22	syl5eqel 2124	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F e. RR )
24		nnre 7921	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
25	24	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
26		nngt0 7939	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < N )
27	24, 26	jca 290	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
28	27	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
29		ltmuldiv2 7841	. . . . . 6 |- ( ( F e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
30	23, 25, 28, 29	syl3anc 1135	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
31	16, 30	mpbird 156	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) < N )
32	3	oveq2i 5523	. . . . . . 7 |- ( N x. F ) = ( N x. ( ( M / N ) - Z ) )
33	18	recnd 7054	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. CC )
34	20	zcnd 8361	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. CC )
35	13, 33, 34	subdid 7411	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( ( M / N ) - Z ) ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
36	32, 35	syl5eq 2084	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
37		zcn 8250	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
38	37	adantr 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. CC )
39	38, 13, 14	divcanap2d 7767	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) = M )
40		simpl 102	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
41	39, 40	eqeltrd 2114	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) e. ZZ )
42		nnz 8264	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
43	42	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
44	43, 20	zmulcld 8366	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. Z ) e. ZZ )
45	41, 44	zsubcld 8365	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) e. ZZ )
46	36, 45	eqeltrd 2114	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) e. ZZ )
47		zltlem1 8301	. . . . 5 |- ( ( ( N x. F ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
48	46, 43, 47	syl2anc 391	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
49	31, 48	mpbid 135	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) )
50		peano2rem 7278	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
51	24, 50	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
52	51	adantl 262	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) e. RR )
53		lemuldiv2 7848	. . . 4 |- ( ( F e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
54	23, 52, 28, 53	syl3anc 1135	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
55	49, 54	mpbid 135	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
56	5	simp3d 918	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) = ( Z + F ) )
57	6, 55, 56	3jca 1084	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   x. cmul 6894   < clt 7060   <_ cle 7061   - cmin 7182   / cdiv 7651   NNcn 7914   ZZcz 8245   QQcq 8554   |_cfl 9112

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-q 8555  df-rp 8584  df-fl 9114

This theorem is referenced by:  flqdiv  9163