Theorem iisermulc2 9860

Description: Multiplication of an infinite series by a constant. (Contributed by Paul Chapman, 14-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isermulc2.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isermulc2.4	|- ( ph -> C e. CC )
isermulc2.5	|- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) ~~> A )
isermulc2.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
isermulc2.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( C x. ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iisermulc2	|- ( ph -> seq M ( + , G , CC ) ~~> ( C x. A ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   C, k   k, G   ph, k   k, Z

Proof of Theorem iisermulc2

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2ser.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		isermulc2.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		isermulc2.5	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) ~~> A )
4		isermulc2.4	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
5		iseqex 9213	. . 3 |- seq M ( + , G , CC ) e. _V
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , G , CC ) e. _V )
7		isermulc2.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
8	1, 2, 7	iserf 9233	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) : Z --> CC )
9	8	ffvelrnda 5302	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , F , CC ) ` j ) e. CC )
10		addcl 7006	. . . 4 |- ( ( k e. CC /\ x e. CC ) -> ( k + x ) e. CC )
11	10	adantl 262	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k + x ) e. CC )
12	4	adantr 261	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> C e. CC )
13		adddi 7013	. . . . 5 |- ( ( C e. CC /\ k e. CC /\ x e. CC ) -> ( C x. ( k + x ) ) = ( ( C x. k ) + ( C x. x ) ) )
14	13	3expb 1105	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( C x. ( k + x ) ) = ( ( C x. k ) + ( C x. x ) ) )
15	12, 14	sylan 267	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( C x. ( k + x ) ) = ( ( C x. k ) + ( C x. x ) ) )
16		simpr 103	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
17	16, 1	syl6eleq 2130	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
18	1	eleq2i 2104	. . . . 5 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
19	18, 7	sylan2br 272	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
20	19	adantlr 446	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
21		isermulc2.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( C x. ( F ` k ) ) )
22	18, 21	sylan2br 272	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( C x. ( F ` k ) ) )
23	22	adantlr 446	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( C x. ( F ` k ) ) )
24		cnex 7005	. . . 4 |- CC e. _V
25	24	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> CC e. _V )
26		mulcl 7008	. . . 4 |- ( ( k e. CC /\ x e. CC ) -> ( k x. x ) e. CC )
27	26	adantl 262	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
28	4	adantr 261	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> C e. CC )
29	28, 7	mulcld 7047	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( C x. ( F ` k ) ) e. CC )
30	21, 29	eqeltrd 2114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
31	18, 30	sylan2br 272	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
32	31	adantlr 446	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
33	11, 15, 17, 20, 23, 25, 27, 32, 12	iseqdistr 9249	. 2 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( seq M ( + , G , CC ) ` j ) = ( C x. ( seq M ( + , F , CC ) ` j ) ) )
34	1, 2, 3, 4, 6, 9, 33	climmulc2 9851	1 |- ( ph -> seq M ( + , G , CC ) ~~> ( C x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   + caddc 6892   x. cmul 6894   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   seqcseq 9211   ~~> cli 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597  df-clim 9800

This theorem is referenced by: (None)