Theorem iinin2m 3725

Description: Indexed intersection of intersection. Compare to Theorem "Distributive laws" in [Enderton] p. 30. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinin2m	|- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iinin2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28mv 3314	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) ) )
2		elin 3126	. . . . 5 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
3	2	ralbii 2330	. . . 4 |- ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) )
4		vex 2560	. . . . . 6 |- y e. _V
5		eliin 3662	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
7	6	anbi2i 430	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) )
8	1, 3, 7	3bitr4g 212	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) ) )
9		eliin 3662	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) ) )
10	4, 9	ax-mp 7	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) )
11		elin 3126	. . 3 |- ( y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) )
12	8, 10, 11	3bitr4g 212	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) ) )
13	12	eqrdv 2038	1 |- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   _Vcvv 2557   i^i cin 2916   |^|_ciin 3658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-in 2924  df-iin 3660

This theorem is referenced by:  iinin1m  3726