Theorem iinab 3718

Description: Indexed intersection of a class builder. (Contributed by NM, 6-Dec-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iinab	|- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iinab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2178	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2180	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiinxy 3684	. . 3 |- F/_ y |^|_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2180	. . 3 |- F/_ y { y | A. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2201	. 2 |- ( |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph } <-> A. y ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } ) )
6		abid 2028	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	ralbii 2330	. . 3 |- ( A. x e. A y e. { y | ph } <-> A. x e. A ph )
8		vex 2560	. . . 4 |- y e. _V
9		eliin 3662	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } ) )
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> A. x e. A y e. { y | ph } )
11		abid 2028	. . 3 |- ( y e. { y | A. x e. A ph } <-> A. x e. A ph )
12	7, 10, 11	3bitr4i 201	. 2 |- ( y e. |^|_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | A. x e. A ph } )
13	5, 12	mpgbir 1342	1 |- |^|_ x e. A { y | ph } = { y | A. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   _Vcvv 2557   |^|_ciin 3658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-iin 3660

This theorem is referenced by:  iinrabm  3719