Theorem idssen 6257

Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
idssen	|- _I C_ ~~

Proof of Theorem idssen

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4465	. 2 |- Rel _I
2		vex 2560	. . . . 5 |- y e. _V
3	2	ideq 4488	. . . 4 |- ( x _I y <-> x = y )
4		vex 2560	. . . . 5 |- x e. _V
5		eqeng 6246	. . . . 5 |- ( x e. _V -> ( x = y -> x ~~ y ) )
6	4, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- ( x = y -> x ~~ y )
7	3, 6	sylbi 114	. . 3 |- ( x _I y -> x ~~ y )
8		df-br 3765	. . 3 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
9		df-br 3765	. . 3 |- ( x ~~ y <-> <. x , y >. e. ~~ )
10	7, 8, 9	3imtr3i 189	. 2 |- ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ~~ )
11	1, 10	relssi 4431	1 |- _I C_ ~~

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   <.cop 3378   class class class wbr 3764   _I cid 4025   ~~ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-en 6222

This theorem is referenced by: (None)