Theorem iccneg 8627

Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iccneg	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ( C e. (A [,]B) <-> -u C e. ( -uB [,] -uA)))

Proof of Theorem iccneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 7068	. . . . 5 |- ( C e. RR -> -u C e. RR)
2		ax-1 5	. . . . 5 |- ( C e. RR -> ( -u C e. RR -> C e. RR))
3	1, 2	impbid2 131	. . . 4 |- ( C e. RR -> ( C e. RR <-> -u C e. RR))
4	3	3ad2ant3 926	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ( C e. RR <-> -u C e. RR))
5		ancom 253	. . . 4 |- (( C <_ B /\ A <_ C) <-> (A <_ C /\ C <_ B))
6		leneg 7255	. . . . . . 7 |- (( C e. RR /\ B e. RR) -> ( C <_ B <-> -uB <_ -u C))
7	6	ancoms 255	. . . . . 6 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> ( C <_ B <-> -uB <_ -u C))
8	7	3adant1 921	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ( C <_ B <-> -uB <_ -u C))
9		leneg 7255	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A <_ C <-> -u C <_ -uA))
10	9	3adant2 922	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <_ C <-> -u C <_ -uA))
11	8, 10	anbi12d 442	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (( C <_ B /\ A <_ C) <-> ( -uB <_ -u C /\ -u C <_ -uA)))
12	5, 11	syl5bbr 183	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <_ C /\ C <_ B) <-> ( -uB <_ -u C /\ -u C <_ -uA)))
13	4, 12	anbi12d 442	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (( C e. RR /\ (A <_ C /\ C <_ B)) <-> ( -u C e. RR /\ ( -uB <_ -u C /\ -u C <_ -uA))))
14		elicc2 8577	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ( C e. (A [,]B) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
15	14	3adant3 923	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ( C e. (A [,]B) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
16		3anass 888	. . 3 |- (( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) <-> ( C e. RR /\ (A <_ C /\ C <_ B)))
17	15, 16	syl6bb 185	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ( C e. (A [,]B) <-> ( C e. RR /\ (A <_ C /\ C <_ B))))
18		renegcl 7068	. . . . 5 |- (B e. RR -> -uB e. RR)
19		renegcl 7068	. . . . 5 |- (A e. RR -> -uA e. RR)
20		elicc2 8577	. . . . 5 |- (( -uB e. RR /\ -uA e. RR) -> ( -u C e. ( -uB [,] -uA) <-> ( -u C e. RR /\ -uB <_ -u C /\ -u C <_ -uA)))
21	18, 19, 20	syl2anr 274	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ( -u C e. ( -uB [,] -uA) <-> ( -u C e. RR /\ -uB <_ -u C /\ -u C <_ -uA)))
22	21	3adant3 923	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ( -u C e. ( -uB [,] -uA) <-> ( -u C e. RR /\ -uB <_ -u C /\ -u C <_ -uA)))
23		3anass 888	. . 3 |- (( -u C e. RR /\ -uB <_ -u C /\ -u C <_ -uA) <-> ( -u C e. RR /\ ( -uB <_ -u C /\ -u C <_ -uA)))
24	22, 23	syl6bb 185	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ( -u C e. ( -uB [,] -uA) <-> ( -u C e. RR /\ ( -uB <_ -u C /\ -u C <_ -uA))))
25	13, 17, 24	3bitr4d 209	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ( C e. (A [,]B) <-> -u C e. ( -uB [,] -uA)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   e. wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6710   <_ cle 6858   -ucneg 6980   [,]cicc 8530

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-icc 8534

This theorem is referenced by: (None)