ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccneg Structured version   Unicode version

Theorem iccneg 8607
Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
iccneg  RR  RR  C  RR  C  [,]  -u C  -u [,] -u

Proof of Theorem iccneg
StepHypRef Expression
1 renegcl 7048 . . . . 5  C  RR  -u C  RR
2 ax-1 5 . . . . 5  C  RR  -u C  RR  C  RR
31, 2impbid2 131 . . . 4  C  RR  C  RR  -u C  RR
433ad2ant3 926 . . 3  RR  RR  C  RR  C  RR  -u C  RR
5 ancom 253 . . . 4  C  <_  <_  C 
<_  C  C  <_
6 leneg 7235 . . . . . . 7  C  RR  RR  C  <_  -u  <_  -u C
76ancoms 255 . . . . . 6  RR  C  RR  C  <_  -u  <_  -u C
873adant1 921 . . . . 5  RR  RR  C  RR  C  <_  -u  <_ 
-u C
9 leneg 7235 . . . . . 6  RR  C  RR  <_  C  -u C  <_  -u
1093adant2 922 . . . . 5  RR  RR  C  RR  <_  C  -u C  <_ 
-u
118, 10anbi12d 442 . . . 4  RR  RR  C  RR  C  <_  <_  C  -u  <_  -u C  -u C  <_ 
-u
125, 11syl5bbr 183 . . 3  RR  RR  C  RR  <_  C  C  <_  -u  <_  -u C  -u C  <_ 
-u
134, 12anbi12d 442 . 2  RR  RR  C  RR  C  RR  <_  C  C  <_  -u C  RR  -u  <_  -u C  -u C  <_ 
-u
14 elicc2 8557 . . . 4  RR  RR  C  [,]  C  RR  <_  C  C  <_
15143adant3 923 . . 3  RR  RR  C  RR  C  [,]  C  RR  <_  C  C  <_
16 3anass 888 . . 3  C  RR  <_  C  C  <_  C  RR  <_  C  C  <_
1715, 16syl6bb 185 . 2  RR  RR  C  RR  C  [,]  C  RR  <_  C  C  <_
18 renegcl 7048 . . . . 5  RR  -u  RR
19 renegcl 7048 . . . . 5  RR  -u  RR
20 elicc2 8557 . . . . 5 
-u  RR  -u  RR  -u C  -u [,] -u  -u C  RR  -u  <_ 
-u C  -u C  <_ 
-u
2118, 19, 20syl2anr 274 . . . 4  RR  RR  -u C  -u [,] -u  -u C  RR  -u  <_ 
-u C  -u C  <_ 
-u
22213adant3 923 . . 3  RR  RR  C  RR  -u C  -u [,] -u  -u C  RR  -u  <_ 
-u C  -u C  <_ 
-u
23 3anass 888 . . 3 
-u C  RR  -u  <_  -u C  -u C  <_  -u  -u C  RR  -u  <_  -u C  -u C  <_ 
-u
2422, 23syl6bb 185 . 2  RR  RR  C  RR  -u C  -u [,] -u  -u C  RR  -u  <_  -u C  -u C  <_  -u
2513, 17, 243bitr4d 209 1  RR  RR  C  RR  C  [,]  -u C  -u [,] -u
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6690    <_ cle 6838   -ucneg 6960   [,]cicc 8510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-icc 8514
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator