ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccdil Unicode version

Theorem iccdil 8636
Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccdil.1  x.  R  C
iccdil.2  x.  R  D
Assertion
Ref Expression
iccdil  RR  RR  X  RR  R  RR+  X  [,]  X  x.  R  C [,] D

Proof of Theorem iccdil
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . . 5  X  RR  R  RR+ 
X  RR
2 rpre 8364 . . . . . 6  R  RR+  R  RR
3 remulcl 6807 . . . . . 6  X  RR  R  RR  X  x.  R  RR
42, 3sylan2 270 . . . . 5  X  RR  R  RR+  X  x.  R  RR
51, 42thd 164 . . . 4  X  RR  R  RR+  X  RR  X  x.  R  RR
65adantl 262 . . 3  RR  RR  X  RR  R  RR+  X  RR  X  x.  R  RR
7 elrp 8360 . . . . . . 7  R  RR+  R  RR  0  < 
R
8 lemul1 7377 . . . . . . 7  RR  X  RR  R  RR  0  <  R  <_  X  x.  R  <_  X  x.  R
97, 8syl3an3b 1172 . . . . . 6  RR  X  RR  R  RR+  <_  X  x.  R  <_  X  x.  R
1093expb 1104 . . . . 5  RR  X  RR  R  RR+  <_  X  x.  R  <_  X  x.  R
1110adantlr 446 . . . 4  RR  RR  X  RR  R  RR+  <_  X  x.  R  <_  X  x.  R
12 iccdil.1 . . . . 5  x.  R  C
1312breq1i 3762 . . . 4  x.  R 
<_  X  x.  R  C  <_  X  x.  R
1411, 13syl6bb 185 . . 3  RR  RR  X  RR  R  RR+  <_  X  C  <_  X  x.  R
15 lemul1 7377 . . . . . . . 8  X  RR  RR  R  RR  0  <  R  X  <_  X  x.  R  <_  x.  R
167, 15syl3an3b 1172 . . . . . . 7  X  RR  RR  R  RR+  X  <_  X  x.  R  <_  x.  R
17163expb 1104 . . . . . 6  X  RR  RR  R  RR+  X  <_  X  x.  R  <_  x.  R
1817an12s 499 . . . . 5  RR  X  RR  R  RR+  X  <_  X  x.  R  <_  x.  R
1918adantll 445 . . . 4  RR  RR  X  RR  R  RR+  X  <_  X  x.  R  <_  x.  R
20 iccdil.2 . . . . 5  x.  R  D
2120breq2i 3763 . . . 4  X  x.  R 
<_  x.  R  X  x.  R  <_  D
2219, 21syl6bb 185 . . 3  RR  RR  X  RR  R  RR+  X  <_  X  x.  R  <_  D
236, 14, 223anbi123d 1206 . 2  RR  RR  X  RR  R  RR+  X  RR  <_  X  X  <_  X  x.  R  RR  C  <_  X  x.  R  X  x.  R  <_  D
24 elicc2 8577 . . 3  RR  RR  X  [,]  X  RR  <_  X  X  <_
2524adantr 261 . 2  RR  RR  X  RR  R  RR+  X  [,]  X  RR  <_  X  X  <_
26 remulcl 6807 . . . . . . 7  RR  R  RR  x.  R  RR
2712, 26syl5eqelr 2122 . . . . . 6  RR  R  RR  C  RR
28 remulcl 6807 . . . . . . 7  RR  R  RR  x.  R  RR
2920, 28syl5eqelr 2122 . . . . . 6  RR  R  RR  D  RR
30 elicc2 8577 . . . . . 6  C  RR  D  RR  X  x.  R  C [,] D  X  x.  R  RR  C  <_  X  x.  R  X  x.  R  <_  D
3127, 29, 30syl2an 273 . . . . 5  RR  R  RR  RR  R  RR  X  x.  R  C [,] D  X  x.  R  RR  C  <_  X  x.  R  X  x.  R  <_  D
3231anandirs 527 . . . 4  RR  RR  R  RR  X  x.  R  C [,] D  X  x.  R  RR  C  <_  X  x.  R  X  x.  R  <_  D
332, 32sylan2 270 . . 3  RR  RR  R  RR+  X  x.  R  C [,] D  X  x.  R  RR  C  <_  X  x.  R  X  x.  R  <_  D
3433adantrl 447 . 2  RR  RR  X  RR  R  RR+  X  x.  R  C [,] D  X  x.  R  RR  C  <_  X  x.  R  X  x.  R  <_  D
3523, 25, 343bitr4d 209 1  RR  RR  X  RR  R  RR+  X  [,]  X  x.  R  C [,] D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6710   0cc0 6711    x. cmul 6716    < clt 6857    <_ cle 6858   RR+crp 8358   [,]cicc 8530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-rp 8359  df-icc 8534
This theorem is referenced by:  iccdili  8637  lincmb01cmp  8641  iccf1o  8642
  Copyright terms: Public domain W3C validator