Theorem iccdil 8636

Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdil.1	|- (A x. R) = C
iccdil.2	|- (B x. R) = D

Assertion

Ref	Expression
iccdil	|- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> ( X e. (A [,]B) <-> ( X x. R) e. ( C [,] D)))

Proof of Theorem iccdil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 102	. . . . 5 |- (( X e. RR /\ R e. RR+) -> X e. RR)
2		rpre 8364	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> R e. RR)
3		remulcl 6807	. . . . . 6 |- (( X e. RR /\ R e. RR) -> ( X x. R) e. RR)
4	2, 3	sylan2 270	. . . . 5 |- (( X e. RR /\ R e. RR+) -> ( X x. R) e. RR)
5	1, 4	2thd 164	. . . 4 |- (( X e. RR /\ R e. RR+) -> ( X e. RR <-> ( X x. R) e. RR))
6	5	adantl 262	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> ( X e. RR <-> ( X x. R) e. RR))
7		elrp 8360	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ <-> ( R e. RR /\ 0 < R))
8		lemul1 7377	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ X e. RR /\ ( R e. RR /\ 0 < R)) -> (A <_ X <-> (A x. R) <_ ( X x. R)))
9	7, 8	syl3an3b 1172	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ X e. RR /\ R e. RR+) -> (A <_ X <-> (A x. R) <_ ( X x. R)))
10	9	3expb 1104	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> (A <_ X <-> (A x. R) <_ ( X x. R)))
11	10	adantlr 446	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> (A <_ X <-> (A x. R) <_ ( X x. R)))
12		iccdil.1	. . . . 5 |- (A x. R) = C
13	12	breq1i 3762	. . . 4 |- ((A x. R) <_ ( X x. R) <-> C <_ ( X x. R))
14	11, 13	syl6bb 185	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> (A <_ X <-> C <_ ( X x. R)))
15		lemul1 7377	. . . . . . . 8 |- (( X e. RR /\ B e. RR /\ ( R e. RR /\ 0 < R)) -> ( X <_ B <-> ( X x. R) <_ (B x. R)))
16	7, 15	syl3an3b 1172	. . . . . . 7 |- (( X e. RR /\ B e. RR /\ R e. RR+) -> ( X <_ B <-> ( X x. R) <_ (B x. R)))
17	16	3expb 1104	. . . . . 6 |- (( X e. RR /\ (B e. RR /\ R e. RR+)) -> ( X <_ B <-> ( X x. R) <_ (B x. R)))
18	17	an12s 499	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> ( X <_ B <-> ( X x. R) <_ (B x. R)))
19	18	adantll 445	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> ( X <_ B <-> ( X x. R) <_ (B x. R)))
20		iccdil.2	. . . . 5 |- (B x. R) = D
21	20	breq2i 3763	. . . 4 |- (( X x. R) <_ (B x. R) <-> ( X x. R) <_ D)
22	19, 21	syl6bb 185	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> ( X <_ B <-> ( X x. R) <_ D))
23	6, 14, 22	3anbi123d 1206	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> (( X e. RR /\ A <_ X /\ X <_ B) <-> (( X x. R) e. RR /\ C <_ ( X x. R) /\ ( X x. R) <_ D)))
24		elicc2 8577	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ( X e. (A [,]B) <-> ( X e. RR /\ A <_ X /\ X <_ B)))
25	24	adantr 261	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> ( X e. (A [,]B) <-> ( X e. RR /\ A <_ X /\ X <_ B)))
26		remulcl 6807	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ R e. RR) -> (A x. R) e. RR)
27	12, 26	syl5eqelr 2122	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ R e. RR) -> C e. RR)
28		remulcl 6807	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ R e. RR) -> (B x. R) e. RR)
29	20, 28	syl5eqelr 2122	. . . . . 6 |- ((B e. RR /\ R e. RR) -> D e. RR)
30		elicc2 8577	. . . . . 6 |- (( C e. RR /\ D e. RR) -> (( X x. R) e. ( C [,] D) <-> (( X x. R) e. RR /\ C <_ ( X x. R) /\ ( X x. R) <_ D)))
31	27, 29, 30	syl2an 273	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ R e. RR) /\ (B e. RR /\ R e. RR)) -> (( X x. R) e. ( C [,] D) <-> (( X x. R) e. RR /\ C <_ ( X x. R) /\ ( X x. R) <_ D)))
32	31	anandirs 527	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ R e. RR) -> (( X x. R) e. ( C [,] D) <-> (( X x. R) e. RR /\ C <_ ( X x. R) /\ ( X x. R) <_ D)))
33	2, 32	sylan2 270	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ R e. RR+) -> (( X x. R) e. ( C [,] D) <-> (( X x. R) e. RR /\ C <_ ( X x. R) /\ ( X x. R) <_ D)))
34	33	adantrl 447	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> (( X x. R) e. ( C [,] D) <-> (( X x. R) e. RR /\ C <_ ( X x. R) /\ ( X x. R) <_ D)))
35	23, 25, 34	3bitr4d 209	1 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( X e. RR /\ R e. RR+)) -> ( X e. (A [,]B) <-> ( X x. R) e. ( C [,] D)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6710   0cc0 6711   x. cmul 6716   < clt 6857   <_ cle 6858   RR+crp 8358   [,]cicc 8530

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-rp 8359  df-icc 8534

This theorem is referenced by:  iccdili  8637  lincmb01cmp  8641  iccf1o  8642