Theorem hbae 1606

Description: All variables are effectively bound in an identical variable specifier. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Revised by NM, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hbae	|- ( A. x x = y -> A. z A. x x = y )

Proof of Theorem hbae

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax12or 1403	. . . 4 |- ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) )
2		ax10o 1603	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
3	2	alequcoms 1409	. . . . 5 |- ( A. z z = x -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
4		ax10o 1603	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = y -> A. y x = y ) )
5	4	pm2.43i 43	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> A. y x = y )
6		ax10o 1603	. . . . . . . 8 |- ( A. y y = z -> ( A. y x = y -> A. z x = y ) )
7	5, 6	syl5 28	. . . . . . 7 |- ( A. y y = z -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
8	7	alequcoms 1409	. . . . . 6 |- ( A. z z = y -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
9		ax-4 1400	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> x = y )
10	9	imim1i 54	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
11	10	sps 1430	. . . . . 6 |- ( A. z ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
12	8, 11	jaoi 636	. . . . 5 |- ( ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
13	3, 12	jaoi 636	. . . 4 |- ( ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
14	1, 13	ax-mp 7	. . 3 |- ( A. x x = y -> A. z x = y )
15	14	a5i 1435	. 2 |- ( A. x x = y -> A. x A. z x = y )
16		ax-7 1337	. 2 |- ( A. x A. z x = y -> A. z A. x x = y )
17	15, 16	syl 14	1 |- ( A. x x = y -> A. z A. x x = y )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427

This theorem depends on definitions:  df-bi 110

This theorem is referenced by:  nfae  1607  hbaes  1608  hbnae  1609  dral1  1618  dral2  1619  drex2  1620  drex1  1679  aev  1693  sbcomxyyz  1846  exists1  1996