ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  genplt2i Unicode version

Theorem genplt2i 6608
Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with  <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genplt2i.ord  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
genplt2i.com  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x G y )  =  ( y G x ) )
Assertion
Ref Expression
genplt2i  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( A G C )  <Q  ( B G D ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    x, C, y, z    x, D, y, z    x, G, y, z

Proof of Theorem genplt2i
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . 3  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  A  <Q  B )
2 genplt2i.ord . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
32adantl 262 . . . 4  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  /\  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q  (
z G y ) ) )
4 ltrelnq 6463 . . . . . 6  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
54brel 4392 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
64brel 4392 . . . . 5  |-  ( C 
<Q  D  ->  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. ) )
7 simpll 481 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  A  e.  Q. )
85, 6, 7syl2an 273 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  A  e.  Q. )
9 simplr 482 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  B  e.  Q. )
105, 6, 9syl2an 273 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  B  e.  Q. )
11 simprl 483 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  C  e.  Q. )
125, 6, 11syl2an 273 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  C  e.  Q. )
13 genplt2i.com . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x G y )  =  ( y G x ) )
1413adantl 262 . . . 4  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  /\  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )
)  ->  ( x G y )  =  ( y G x ) )
153, 8, 10, 12, 14caovord2d 5670 . . 3  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( A  <Q  B  <->  ( A G C )  <Q  ( B G C ) ) )
161, 15mpbid 135 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( A G C )  <Q  ( B G C ) )
17 simpr 103 . . 3  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  C  <Q  D )
18 simprr 484 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  D  e.  Q. )
195, 6, 18syl2an 273 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  D  e.  Q. )
203, 12, 19, 10caovordd 5669 . . 3  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( C  <Q  D  <->  ( B G C )  <Q  ( B G D ) ) )
2117, 20mpbid 135 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( B G C )  <Q  ( B G D ) )
22 ltsonq 6496 . . 3  |-  <Q  Or  Q.
2322, 4sotri 4720 . 2  |-  ( ( ( A G C )  <Q  ( B G C )  /\  ( B G C )  <Q 
( B G D ) )  ->  ( A G C )  <Q 
( B G D ) )
2416, 21, 23syl2anc 391 1  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  -> 
( A G C )  <Q  ( B G D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   Q.cnq 6378    <Q cltq 6383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-ltnqqs 6451
This theorem is referenced by:  genprndl  6619  genprndu  6620  genpdisj  6621
  Copyright terms: Public domain W3C validator