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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > genpdisj | Unicode version |
Description: The lower and upper cuts produced by addition or multiplication on positive reals are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.) |
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genpelvl.1 |
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genpelvl.2 |
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genpdisj |
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1 | genpelvl.1 |
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2 | genpelvl.2 |
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3 | 1, 2 | genpelvl 6495 |
. . . . . . . 8
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4 | r2ex 2338 |
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5 | 3, 4 | syl6bb 185 |
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6 | 1, 2 | genpelvu 6496 |
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7 | r2ex 2338 |
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8 | 6, 7 | syl6bb 185 |
. . . . . . 7
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9 | 5, 8 | anbi12d 442 |
. . . . . 6
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10 | ee4anv 1806 |
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11 | 9, 10 | syl6bbr 187 |
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12 | 11 | biimpa 280 |
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13 | an4 520 |
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14 | prop 6458 |
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15 | prltlu 6470 |
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16 | 15 | 3expib 1106 |
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17 | 14, 16 | syl 14 |
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18 | prop 6458 |
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19 | prltlu 6470 |
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20 | 19 | 3expib 1106 |
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21 | 18, 20 | syl 14 |
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22 | 17, 21 | im2anan9 530 |
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23 | genpdisj.ord |
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24 | genpdisj.com |
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25 | 23, 24 | genplt2i 6493 |
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26 | 22, 25 | syl6 29 |
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27 | 13, 26 | syl5bir 142 |
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28 | 27 | imp 115 |
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29 | 28 | adantlr 446 |
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30 | 29 | adantrlr 454 |
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31 | 30 | adantrrr 456 |
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32 | eqtr2 2055 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | ad2ant2l 477 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | adantl 262 |
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35 | ltsonq 6382 |
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36 | ltrelnq 6349 |
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37 | 35, 36 | soirri 4662 |
. . . . . . . . . 10
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38 | breq2 3759 |
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39 | 37, 38 | mtbii 598 |
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40 | 34, 39 | syl 14 |
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41 | 31, 40 | pm2.21fal 1263 |
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42 | 41 | ex 108 |
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43 | 42 | exlimdvv 1774 |
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44 | 43 | exlimdvv 1774 |
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45 | 12, 44 | mpd 13 |
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46 | 45 | inegd 1262 |
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47 | 46 | ralrimivw 2387 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 629 ax-5 1333 ax-7 1334 ax-gen 1335 ax-ie1 1379 ax-ie2 1380 ax-8 1392 ax-10 1393 ax-11 1394 ax-i12 1395 ax-bndl 1396 ax-4 1397 ax-13 1401 ax-14 1402 ax-17 1416 ax-i9 1420 ax-ial 1424 ax-i5r 1425 ax-ext 2019 ax-coll 3863 ax-sep 3866 ax-nul 3874 ax-pow 3918 ax-pr 3935 ax-un 4136 ax-setind 4220 ax-iinf 4254 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 742 df-3or 885 df-3an 886 df-tru 1245 df-fal 1248 df-nf 1347 df-sb 1643 df-eu 1900 df-mo 1901 df-clab 2024 df-cleq 2030 df-clel 2033 df-nfc 2164 df-ne 2203 df-ral 2305 df-rex 2306 df-reu 2307 df-rab 2309 df-v 2553 df-sbc 2759 df-csb 2847 df-dif 2914 df-un 2916 df-in 2918 df-ss 2925 df-nul 3219 df-pw 3353 df-sn 3373 df-pr 3374 df-op 3376 df-uni 3572 df-int 3607 df-iun 3650 df-br 3756 df-opab 3810 df-mpt 3811 df-tr 3846 df-eprel 4017 df-id 4021 df-po 4024 df-iso 4025 df-iord 4069 df-on 4071 df-suc 4074 df-iom 4257 df-xp 4294 df-rel 4295 df-cnv 4296 df-co 4297 df-dm 4298 df-rn 4299 df-res 4300 df-ima 4301 df-iota 4810 df-fun 4847 df-fn 4848 df-f 4849 df-f1 4850 df-fo 4851 df-f1o 4852 df-fv 4853 df-ov 5458 df-oprab 5459 df-mpt2 5460 df-1st 5709 df-2nd 5710 df-recs 5861 df-irdg 5897 df-oadd 5944 df-omul 5945 df-er 6042 df-ec 6044 df-qs 6048 df-ni 6288 df-mi 6290 df-lti 6291 df-enq 6331 df-nqqs 6332 df-ltnqqs 6337 df-inp 6449 |
This theorem is referenced by: addclpr 6520 mulclpr 6553 |
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