Theorem ge0addcl 8850

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ge0addcl	|- ( ( A e. ( 0 [,) +oo ) /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) )

Proof of Theorem ge0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 8845	. 2 |- ( A e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
2		elrege0 8845	. 2 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
3		readdcl 7007	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
4	3	ad2ant2r 478	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A + B ) e. RR )
5		addge0 7446	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )
6	5	an4s 522	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )
7		elrege0 8845	. . 3 |- ( ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( A + B ) e. RR /\ 0 <_ ( A + B ) ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 394	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9	1, 2, 8	syl2anb 275	1 |- ( ( A e. ( 0 [,) +oo ) /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   RRcr 6888   0cc0 6889   + caddc 6892   +oocpnf 7057   <_ cle 7061   [,)cico 8759

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-ico 8763

This theorem is referenced by: (None)