ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzshftral Unicode version

Theorem fzshftral 8740
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  j  M ... N  k  M  +  K ... N  +  K [. k  -  K  j ].
Distinct variable groups:    j, k, K   
j, M, k    j, N, k   , k
Allowed substitution hint:   ( j)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 8032 . . . 4  0  ZZ
2 fzrevral 8737 . . . 4  M  ZZ  N  ZZ  0  ZZ  j  M ... N  0  -  N ... 0  -  M [. 0  -  j ].
31, 2mp3an3 1220 . . 3  M  ZZ  N  ZZ  j  M ... N  0  -  N ...
0  -  M [. 0  -  j ].
433adant3 923 . 2  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  j  M ... N  0  -  N ... 0  -  M [. 0  -  j ].
5 zsubcl 8062 . . . . 5  0  ZZ  N  ZZ  0  -  N  ZZ
61, 5mpan 400 . . . 4  N  ZZ 
0  -  N  ZZ
7 zsubcl 8062 . . . . 5  0  ZZ  M  ZZ  0  -  M  ZZ
81, 7mpan 400 . . . 4  M  ZZ 
0  -  M  ZZ
9 id 19 . . . 4  K  ZZ  K  ZZ
10 fzrevral 8737 . . . 4  0  -  N  ZZ 
0  -  M  ZZ  K  ZZ  0  -  N ... 0  -  M [. 0  -  j ].  k  K  -  0  -  M ... K  -  0  -  N
[. K  -  k  ].
[. 0  -  j ].
116, 8, 9, 10syl3an 1176 . . 3  N  ZZ  M  ZZ  K  ZZ  0  -  N ... 0  -  M [. 0  -  j ].  k  K  -  0  -  M ... K  -  0  -  N
[. K  -  k  ].
[. 0  -  j ].
12113com12 1107 . 2  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  0  -  N ... 0  -  M [. 0  -  j ].  k  K  -  0  -  M ... K  -  0  -  N
[. K  -  k  ].
[. 0  -  j ].
13 elfzelz 8660 . . . . . 6  k  K  -  0  -  M ... K  - 
0  -  N  k  ZZ
14 zsubcl 8062 . . . . . . 7  K  ZZ  k  ZZ  K  -  k  ZZ
15 oveq2 5463 . . . . . . . 8  K  -  k 
0  -  0  -  K  -  k
1615sbcco3g 2897 . . . . . . 7  K  -  k  ZZ  [. K  -  k  ]. [.
0  -  j ].  [.
0  -  K  -  k  j ].
1714, 16syl 14 . . . . . 6  K  ZZ  k  ZZ  [. K  -  k  ]. [. 0  -  j ].  [.
0  -  K  -  k  j ].
1813, 17sylan2 270 . . . . 5  K  ZZ  k  K  -  0  -  M ... K  - 
0  -  N  [. K  -  k  ].
[. 0  -  j ].  [. 0  -  K  -  k  j ].
1918ralbidva 2316 . . . 4  K  ZZ  k  K  - 
0  -  M ... K  -  0  -  N
[. K  -  k  ].
[. 0  -  j ].  k  K  -  0  -  M ... K  -  0  -  N
[. 0  -  K  -  k  j ].
20193ad2ant3 926 . . 3  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  k  K  - 
0  -  M ... K  -  0  -  N
[. K  -  k  ].
[. 0  -  j ].  k  K  -  0  -  M ... K  -  0  -  N
[. 0  -  K  -  k  j ].
21 zcn 8026 . . . . 5  M  ZZ  M  CC
22 zcn 8026 . . . . 5  N  ZZ  N  CC
23 zcn 8026 . . . . 5  K  ZZ  K  CC
24 df-neg 6982 . . . . . . . . . 10  -u M  0  -  M
2524oveq2i 5466 . . . . . . . . 9  K  -  -u M  K  - 
0  -  M
26 subneg 7056 . . . . . . . . . 10  K  CC  M  CC  K  -  -u M  K  +  M
27 addcom 6947 . . . . . . . . . 10  K  CC  M  CC  K  +  M  M  +  K
2826, 27eqtrd 2069 . . . . . . . . 9  K  CC  M  CC  K  -  -u M  M  +  K
2925, 28syl5eqr 2083 . . . . . . . 8  K  CC  M  CC  K  - 
0  -  M  M  +  K
30293adant3 923 . . . . . . 7  K  CC  M  CC  N  CC  K  -  0  -  M  M  +  K
31 df-neg 6982 . . . . . . . . . 10  -u N  0  -  N
3231oveq2i 5466 . . . . . . . . 9  K  -  -u N  K  - 
0  -  N
33 subneg 7056 . . . . . . . . . 10  K  CC  N  CC  K  -  -u N  K  +  N
34 addcom 6947 . . . . . . . . . 10  K  CC  N  CC  K  +  N  N  +  K
3533, 34eqtrd 2069 . . . . . . . . 9  K  CC  N  CC  K  -  -u N  N  +  K
3632, 35syl5eqr 2083 . . . . . . . 8  K  CC  N  CC  K  - 
0  -  N  N  +  K
37363adant2 922 . . . . . . 7  K  CC  M  CC  N  CC  K  -  0  -  N  N  +  K
3830, 37oveq12d 5473 . . . . . 6  K  CC  M  CC  N  CC  K  - 
0  -  M ... K  -  0  -  N  M  +  K ... N  +  K
39383coml 1110 . . . . 5  M  CC  N  CC  K  CC  K  - 
0  -  M ... K  -  0  -  N  M  +  K ... N  +  K
4021, 22, 23, 39syl3an 1176 . . . 4  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  K  - 
0  -  M ... K  -  0  -  N  M  +  K ... N  +  K
4140raleqdv 2505 . . 3  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  k  K  - 
0  -  M ... K  -  0  -  N
[. 0  -  K  -  k  j ].  k  M  +  K ... N  +  K [. 0  -  K  -  k  j ].
42 elfzelz 8660 . . . . . . . 8  k  M  +  K ... N  +  K  k  ZZ
4342zcnd 8137 . . . . . . 7  k  M  +  K ... N  +  K  k  CC
44 df-neg 6982 . . . . . . . 8  -u K  -  k  0  -  K  -  k
45 negsubdi2 7066 . . . . . . . 8  K  CC  k  CC  -u K  -  k 
k  -  K
4644, 45syl5eqr 2083 . . . . . . 7  K  CC  k  CC  0  -  K  -  k  k  -  K
4723, 43, 46syl2an 273 . . . . . 6  K  ZZ  k  M  +  K ... N  +  K 
0  -  K  -  k  k  -  K
4847sbceq1d 2763 . . . . 5  K  ZZ  k  M  +  K ... N  +  K  [. 0  -  K  -  k  j ].  [.
k  -  K  j ].
4948ralbidva 2316 . . . 4  K  ZZ  k  M  +  K ... N  +  K [. 0  -  K  -  k  j ].  k  M  +  K ... N  +  K [. k  -  K  j ].
50493ad2ant3 926 . . 3  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  k  M  +  K ... N  +  K [. 0  -  K  -  k  j ].  k  M  +  K ... N  +  K [. k  -  K  j ].
5120, 41, 503bitrd 203 . 2  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  k  K  - 
0  -  M ... K  -  0  -  N
[. K  -  k  ].
[. 0  -  j ].  k  M  +  K ... N  +  K [. k  -  K  j ].
524, 12, 513bitrd 203 1  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  j  M ... N  k  M  +  K ... N  +  K [. k  -  K  j ].
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   [.wsbc 2758  (class class class)co 5455   CCcc 6709   0cc0 6711    + caddc 6714    - cmin 6979   -ucneg 6980   ZZcz 8021   ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by:  fzoshftral  8864
  Copyright terms: Public domain W3C validator