Theorem fzosplitprm1 8860

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitprm1	|- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> (A..^(B + 1)) = ((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) , B }))

Proof of Theorem fzosplitprm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 903	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> A e. ZZ)
2		simp2 904	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> B e. ZZ)
3		zre 8025	. . . . . 6 |- (A e. ZZ -> A e. RR)
4		zre 8025	. . . . . 6 |- (B e. ZZ -> B e. RR)
5		ltle 6902	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))
6	3, 4, 5	syl2an 273	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> (A < B -> A <_ B))
7	6	3impia 1100	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> A <_ B)
8		eluz2 8255	. . . 4 |- (B e. ( ZZ>= ` A) <-> (A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A <_ B))
9	1, 2, 7, 8	syl3anbrc 1087	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> B e. ( ZZ>= ` A))
10		fzosplitsn 8859	. . 3 |- (B e. ( ZZ>= ` A) -> (A..^(B + 1)) = ((A..^B) u. {B }))
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> (A..^(B + 1)) = ((A..^B) u. {B }))
12		zcn 8026	. . . . . . 7 |- (B e. ZZ -> B e. CC)
13		ax-1cn 6776	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
14		npcan 7017	. . . . . . . 8 |- ((B e. CC /\ 1 e. CC) -> ((B - 1) + 1) = B)
15	14	eqcomd 2042	. . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ 1 e. CC) -> B = ((B - 1) + 1))
16	12, 13, 15	sylancl 392	. . . . . 6 |- (B e. ZZ -> B = ((B - 1) + 1))
17	16	3ad2ant2 925	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> B = ((B - 1) + 1))
18	17	oveq2d 5471	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> (A..^B) = (A..^((B - 1) + 1)))
19		peano2zm 8059	. . . . . . 7 |- (B e. ZZ -> (B - 1) e. ZZ)
20	19	3ad2ant2 925	. . . . . 6 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> (B - 1) e. ZZ)
21		zltlem1 8077	. . . . . . 7 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> (A < B <-> A <_ (B - 1)))
22	21	biimp3a 1234	. . . . . 6 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> A <_ (B - 1))
23		eluz2 8255	. . . . . 6 |- ((B - 1) e. ( ZZ>= ` A) <-> (A e. ZZ /\ (B - 1) e. ZZ /\ A <_ (B - 1)))
24	1, 20, 22, 23	syl3anbrc 1087	. . . . 5 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> (B - 1) e. ( ZZ>= ` A))
25		fzosplitsn 8859	. . . . 5 |- ((B - 1) e. ( ZZ>= ` A) -> (A..^((B - 1) + 1)) = ((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) }))
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> (A..^((B - 1) + 1)) = ((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) }))
27	18, 26	eqtrd 2069	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> (A..^B) = ((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) }))
28	27	uneq1d 3090	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> ((A..^B) u. {B }) = (((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) }) u. {B }))
29		unass 3094	. . 3 |- (((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) }) u. {B }) = ((A..^(B - 1)) u. ( {(B - 1) } u. {B }))
30		df-pr 3374	. . . . . 6 |- {(B - 1) , B } = ( {(B - 1) } u. {B })
31	30	eqcomi 2041	. . . . 5 |- ( {(B - 1) } u. {B }) = {(B - 1) , B }
32	31	a1i 9	. . . 4 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> ( {(B - 1) } u. {B }) = {(B - 1) , B })
33	32	uneq2d 3091	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> ((A..^(B - 1)) u. ( {(B - 1) } u. {B })) = ((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) , B }))
34	29, 33	syl5eq 2081	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> (((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) }) u. {B }) = ((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) , B }))
35	11, 28, 34	3eqtrd 2073	1 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B) -> (A..^(B + 1)) = ((A..^(B - 1)) u. {(B - 1) , B }))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   u. cun 2909   {csn 3367   {cpr 3368   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857   <_ cle 6858   - cmin 6979   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249  ..^cfzo 8769

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-fzo 8770

This theorem is referenced by: (None)