ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzopth Unicode version

Theorem fzopth 8694
Description: A finite set of sequential integers can represent an ordered pair. (Contributed by NM, 31-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzopth  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  M  J  N  K

Proof of Theorem fzopth
StepHypRef Expression
1 eluzfz1 8665 . . . . . . . . 9  N  ZZ>= `  M  M  M ... N
21adantr 261 . . . . . . . 8  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  M  M ... N
3 simpr 103 . . . . . . . 8  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  M ... N  J ... K
42, 3eleqtrd 2113 . . . . . . 7  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  M  J ... K
5 elfzuz 8656 . . . . . . 7  M  J ... K  M  ZZ>= `  J
6 uzss 8269 . . . . . . 7  M  ZZ>= `  J  ZZ>= `  M  C_  ZZ>= `  J
74, 5, 63syl 17 . . . . . 6  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  ZZ>=
`  M  C_  ZZ>= `  J
8 elfzuz2 8663 . . . . . . . . 9  M  J ... K  K  ZZ>= `  J
9 eluzfz1 8665 . . . . . . . . 9  K  ZZ>= `  J  J  J ... K
104, 8, 93syl 17 . . . . . . . 8  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  J  J ... K
1110, 3eleqtrrd 2114 . . . . . . 7  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  J  M ... N
12 elfzuz 8656 . . . . . . 7  J  M ... N  J  ZZ>= `  M
13 uzss 8269 . . . . . . 7  J  ZZ>= `  M  ZZ>= `  J  C_  ZZ>= `  M
1411, 12, 133syl 17 . . . . . 6  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  ZZ>=
`  J  C_  ZZ>= `  M
157, 14eqssd 2956 . . . . 5  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  ZZ>=
`  M  ZZ>= `  J
16 eluzel2 8254 . . . . . . 7  N  ZZ>= `  M  M  ZZ
1716adantr 261 . . . . . 6  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  M  ZZ
18 uz11 8271 . . . . . 6  M  ZZ  ZZ>= `  M  ZZ>= `  J  M  J
1917, 18syl 14 . . . . 5  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  ZZ>= `  M  ZZ>= `  J  M  J
2015, 19mpbid 135 . . . 4  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  M  J
21 eluzfz2 8666 . . . . . . . . 9  K  ZZ>= `  J  K  J ... K
224, 8, 213syl 17 . . . . . . . 8  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  K  J ... K
2322, 3eleqtrrd 2114 . . . . . . 7  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  K  M ... N
24 elfzuz3 8657 . . . . . . 7  K  M ... N  N  ZZ>= `  K
25 uzss 8269 . . . . . . 7  N  ZZ>= `  K  ZZ>= `  N  C_  ZZ>= `  K
2623, 24, 253syl 17 . . . . . 6  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  ZZ>=
`  N  C_  ZZ>= `  K
27 eluzfz2 8666 . . . . . . . . 9  N  ZZ>= `  M  N  M ... N
2827adantr 261 . . . . . . . 8  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  N  M ... N
2928, 3eleqtrd 2113 . . . . . . 7  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  N  J ... K
30 elfzuz3 8657 . . . . . . 7  N  J ... K  K  ZZ>= `  N
31 uzss 8269 . . . . . . 7  K  ZZ>= `  N  ZZ>= `  K  C_  ZZ>= `  N
3229, 30, 313syl 17 . . . . . 6  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  ZZ>=
`  K  C_  ZZ>= `  N
3326, 32eqssd 2956 . . . . 5  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  ZZ>=
`  N  ZZ>= `  K
34 eluzelz 8258 . . . . . . 7  N  ZZ>= `  M  N  ZZ
3534adantr 261 . . . . . 6  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  N  ZZ
36 uz11 8271 . . . . . 6  N  ZZ  ZZ>= `  N  ZZ>= `  K  N  K
3735, 36syl 14 . . . . 5  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  ZZ>= `  N  ZZ>= `  K  N  K
3833, 37mpbid 135 . . . 4  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  N  K
3920, 38jca 290 . . 3  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  M  J  N  K
4039ex 108 . 2  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  M  J  N  K
41 oveq12 5464 . 2  M  J  N  K  M ... N  J ... K
4240, 41impbid1 130 1  N  ZZ>= `  M  M ... N  J ... K  M  J  N  K
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390    C_ wss 2911   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-apti 6798
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by:  2ffzeq  8768
  Copyright terms: Public domain W3C validator