ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzofzim Unicode version

Theorem fzofzim 8814
Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzofzim  K  =/=  M  K  0 ... M 
K  0..^ M

Proof of Theorem fzofzim
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 8743 . . . 4  K  0 ... M  K  NN0  M  NN0  K  <_  M
2 simpl1 906 . . . . . 6  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  K  =/=  M 
K  NN0
3 necom 2283 . . . . . . . . 9  K  =/=  M  M  =/= 
K
4 nn0z 8041 . . . . . . . . . . . . 13  K  NN0  K  ZZ
5 nn0z 8041 . . . . . . . . . . . . 13  M  NN0  M  ZZ
6 zltlen 8095 . . . . . . . . . . . . 13  K  ZZ  M  ZZ  K  <  M  K  <_  M  M  =/=  K
74, 5, 6syl2an 273 . . . . . . . . . . . 12  K  NN0  M  NN0  K  <  M  K  <_  M  M  =/=  K
87bicomd 129 . . . . . . . . . . 11  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  M  =/=  K  K  <  M
9 elnn0z 8034 . . . . . . . . . . . . 13  K  NN0  K  ZZ  0  <_  K
10 0red 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  K  ZZ  M  NN0  0  RR
11 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  K  ZZ  K  RR
1211adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  K  ZZ  M  NN0 
K  RR
13 nn0re 7966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  M  NN0  M  RR
1413adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  K  ZZ  M  NN0 
M  RR
15 lelttr 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  0  RR  K  RR  M  RR  0  <_  K  K  <  M  0  <  M
1610, 12, 14, 15syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  K  ZZ  M  NN0  0  <_  K  K  <  M  0  <  M
17 elnnz 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  M  NN  M  ZZ  0  <  M
1817simplbi2 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  M  ZZ 
0  <  M  M  NN
195, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  M  NN0 
0  <  M  M  NN
2019adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  K  ZZ  M  NN0  0  <  M  M  NN
2116, 20syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  K  ZZ  M  NN0  0  <_  K  K  <  M  M  NN
2221expd 245 . . . . . . . . . . . . . 14  K  ZZ  M  NN0  0  <_  K  K  <  M  M  NN
2322impancom 247 . . . . . . . . . . . . 13  K  ZZ  0  <_  K  M  NN0  K  <  M  M  NN
249, 23sylbi 114 . . . . . . . . . . . 12  K  NN0  M  NN0  K  <  M  M  NN
2524imp 115 . . . . . . . . . . 11  K  NN0  M  NN0  K  <  M 
M  NN
268, 25sylbid 139 . . . . . . . . . 10  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  M  =/=  K  M  NN
2726expd 245 . . . . . . . . 9  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  M  =/=  K  M  NN
283, 27syl7bi 154 . . . . . . . 8  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  K  =/=  M  M  NN
29283impia 1100 . . . . . . 7  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  K  =/=  M  M  NN
3029imp 115 . . . . . 6  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  K  =/=  M 
M  NN
318biimpd 132 . . . . . . . . . 10  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  M  =/=  K  K  <  M
3231exp4b 349 . . . . . . . . 9  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  M  =/=  K  K  <  M
33323imp 1097 . . . . . . . 8  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  M  =/=  K  K  <  M
343, 33syl5bi 141 . . . . . . 7  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  K  =/=  M  K  <  M
3534imp 115 . . . . . 6  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  K  =/=  M 
K  <  M
362, 30, 353jca 1083 . . . . 5  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  K  =/=  M  K  NN0  M  NN  K  <  M
3736ex 108 . . . 4  K  NN0  M  NN0  K  <_  M  K  =/=  M  K  NN0  M  NN  K  < 
M
381, 37sylbi 114 . . 3  K  0 ... M  K  =/=  M  K  NN0  M  NN  K  < 
M
3938impcom 116 . 2  K  =/=  M  K  0 ... M  K  NN0  M  NN  K  <  M
40 elfzo0 8808 . 2  K  0..^ M  K 
NN0  M  NN  K  <  M
4139, 40sylibr 137 1  K  =/=  M  K  0 ... M 
K  0..^ M
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wcel 1390    =/= wne 2201   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6710   0cc0 6711    < clt 6857    <_ cle 6858   NNcn 7695   NN0cn0 7957   ZZcz 8021   ...cfz 8644  ..^cfzo 8769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-fzo 8770
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator