Theorem fzind 8353

Description: Induction on the integers from M to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind.1	|- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
fzind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fzind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fzind.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fzind.5	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
fzind.6	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fzind	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, M, y   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3767	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( x <_ N <-> M <_ N ) )
2	1	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
3		fzind.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
4	2, 3	imbi12d 223	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) ) )
5		breq1 3767	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x <_ N <-> y <_ N ) )
6	5	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
7		fzind.2	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
8	6, 7	imbi12d 223	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) ) )
9		breq1 3767	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x <_ N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
10	9	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
11		fzind.3	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
12	10, 11	imbi12d 223	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
13		breq1 3767	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = K -> ( x <_ N <-> K <_ N ) )
14	13	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
15		fzind.4	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
16	14, 15	imbi12d 223	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) ) )
17		fzind.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
18	17	3expib 1107	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) )
19		zre 8249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
20		zre 8249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
21		p1le 7815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> y <_ N )
22	21	3expia 1106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
23	19, 20, 22	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
24	23	imdistanda 422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
25	24	imim1d 69	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
26	25	3ad2ant2 926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
27		zltp1le 8298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
28	27	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
29	28	expcom 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) ) )
30	29	pm5.32d 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
31	30	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
32		fzind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
33	32	expcom 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
34	33	3expa 1104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
35	34	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
36	31, 35	sylbird 159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
37	36	ex 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) ) )
38	37	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
39	38	expd 245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) ) )
40	39	3impib 1102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
41	40	com23 72	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( N e. ZZ -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( ch -> th ) ) ) )
42	41	impd 242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
43	42	a2d 23	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
44	26, 43	syld 40	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
45	4, 8, 12, 16, 18, 44	uzind 8349	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) )
46	45	expcomd 1330	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
47	46	3expb 1105	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K ) ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
48	47	expcom 109	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( M e. ZZ -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
49	48	com23 72	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
50	49	3impia 1101	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
51	50	impd 242	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ta ) )
52	51	impcom 116	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   RRcr 6888   1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   <_ cle 7061   ZZcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246

This theorem is referenced by:  fnn0ind  8354  fzind2  9095