ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzfig Structured version   Unicode version

Theorem fzfig 8867
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzfig  M  ZZ  N  ZZ  M ... N  Fin

Proof of Theorem fzfig
StepHypRef Expression
1 eluz 8242 . . 3  M  ZZ  N  ZZ  N 
ZZ>= `  M  M  <_  N
2 eqid 2037 . . . . . . 7 frec  ZZ  |->  +  1 ,  0 frec  ZZ  |->  +  1 ,  0
32frechashgf1o 8866 . . . . . 6 frec  ZZ  |->  +  1 ,  0 : om -1-1-onto-> NN0
4 peano2uz 8282 . . . . . . 7  N  ZZ>= `  M  N  + 
1 
ZZ>= `  M
5 uznn0sub 8260 . . . . . . 7  N  +  1  ZZ>= `  M  N  +  1  -  M  NN0
64, 5syl 14 . . . . . 6  N  ZZ>= `  M  N  +  1  -  M  NN0
7 f1ocnvdm 5364 . . . . . 6 frec  ZZ  |->  + 
1 ,  0 : om -1-1-onto-> NN0  N  + 
1  -  M  NN0  `'frec  ZZ  |->  + 
1 ,  0 `  N  +  1  -  M  om
83, 6, 7sylancr 393 . . . . 5  N  ZZ>= `  M  `'frec  ZZ  |->  +  1 ,  0 `
 N  +  1  -  M 
om
9 nnfi 6251 . . . . 5  `'frec  ZZ  |->  + 
1 ,  0 `  N  +  1  -  M  om  `'frec  ZZ  |->  + 
1 ,  0 `  N  +  1  -  M  Fin
108, 9syl 14 . . . 4  N  ZZ>= `  M  `'frec  ZZ  |->  +  1 ,  0 `
 N  +  1  -  M 
Fin
112frecfzen2 8865 . . . 4  N  ZZ>= `  M  M ... N  ~~  `'frec  ZZ  |->  + 
1 ,  0 `  N  +  1  -  M
12 enfii 6253 . . . 4  `'frec  ZZ  |->  +  1 ,  0 `
 N  +  1  -  M 
Fin  M ... N  ~~  `'frec  ZZ  |->  + 
1 ,  0 `  N  +  1  -  M  M ... N 
Fin
1310, 11, 12syl2anc 391 . . 3  N  ZZ>= `  M  M ... N  Fin
141, 13syl6bir 153 . 2  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  N  M ... N  Fin
15 zltnle 8047 . . . . 5  N  ZZ  M  ZZ  N  <  M  M  <_  N
1615ancoms 255 . . . 4  M  ZZ  N  ZZ  N  <  M  M  <_  N
17 fzn 8656 . . . 4  M  ZZ  N  ZZ  N  <  M  M ... N  (/)
1816, 17bitr3d 179 . . 3  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  N  M ... N  (/)
19 0fin 6255 . . . 4  (/)  Fin
20 eleq1 2097 . . . 4  M ... N  (/)  M ... N  Fin  (/)  Fin
2119, 20mpbiri 157 . . 3  M ... N  (/)  M ... N 
Fin
2218, 21syl6bi 152 . 2  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  N  M ... N  Fin
23 zdcle 8073 . . 3  M  ZZ  N  ZZ DECID  M  <_  N
24 df-dc 742 . . 3 DECID  M  <_  N  M  <_  N  M  <_  N
2523, 24sylib 127 . 2  M  ZZ  N  ZZ  M  <_  N  M  <_  N
2614, 22, 25mpjaod 637 1  M  ZZ  N  ZZ  M ... N  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628  DECID wdc 741   wceq 1242   wcel 1390   (/)c0 3218   class class class wbr 3755    |-> cmpt 3809   omcom 4256   `'ccnv 4287   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917    ~~ cen 6155   Fincfn 6157   0cc0 6691   1c1 6692    + caddc 6694    < clt 6837    <_ cle 6838    - cmin 6959   NN0cn0 7937   ZZcz 8001   ZZ>=cuz 8229   ...cfz 8624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-en 6158  df-fin 6160  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625
This theorem is referenced by:  fzfigd  8868  fzofig  8869
  Copyright terms: Public domain W3C validator