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Theorem fzen 8907
Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzen  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )

Proof of Theorem fzen
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzf 8878 . . . . 5  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
2 ffn 5046 . . . . 5  |-  ( ...
: ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ  ->  ... 
Fn  ( ZZ  X.  ZZ ) )
31, 2ax-mp 7 . . . 4  |-  ...  Fn  ( ZZ  X.  ZZ )
4 fnovex 5538 . . . 4  |-  ( ( ...  Fn  ( ZZ 
X.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  e. 
_V )
53, 4mp3an1 1219 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  e.  _V )
653adant3 924 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  e. 
_V )
7 simp1 904 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
8 simp3 906 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
97, 8zaddcld 8364 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
10 simp2 905 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1110, 8zaddcld 8364 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
12 fnovex 5538 . . . 4  |-  ( ( ...  Fn  ( ZZ 
X.  ZZ )  /\  ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  e.  _V )
133, 12mp3an1 1219 . . 3  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  e.  _V )
149, 11, 13syl2anc 391 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  e. 
_V )
15 elfz1 8879 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
1615biimpd 132 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) ) )
17163adant3 924 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
18 zaddcl 8285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ZZ )
1918expcom 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
20193ad2ant3 927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
2120adantrd 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
22 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
23 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
24 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
25 leadd1 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
2622, 23, 24, 25syl3an 1177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
2726biimpd 132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  ->  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
) ) )
2827adantrd 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
29283com23 1110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
30293expia 1106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) ) )
3130impd 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( M  +  K
)  <_  ( k  +  K ) ) )
32313adant2 923 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
33 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
34 leadd1 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
3523, 33, 24, 34syl3an 1177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
3635biimpd 132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K ) ) )
3736adantld 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
38373coml 1111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
39383expia 1106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
4039impd 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( k  +  K
)  <_  ( N  +  K ) ) )
41403adant1 922 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
4221, 32, 413jcad 1085 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
43 zaddcl 8285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
44433adant2 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
45 zaddcl 8285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
46453adant1 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
47 elfz1 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
4844, 46, 47syl2anc 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
4948biimprd 147 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  ( k  +  K )  /\  (
k  +  K )  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
5042, 49syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) ) )
5150com12 27 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) ) )
52513impb 1100 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
5352com12 27 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
5417, 53syld 40 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
55 elfz1 8879 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
5644, 46, 55syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
5756biimpd 132 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) ) )
58 zsubcl 8286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  -  K
)  e.  ZZ )
5958expcom 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
60593ad2ant3 927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
6160adantrd 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
62 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
63 leaddsub 7433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
6422, 24, 62, 63syl3an 1177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
6564biimpd 132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
6665adantrd 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  M  <_  (
m  -  K ) ) )
67663expia 1106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) ) )
6867impd 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
69683adant2 923 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
70 lesubadd 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
7162, 24, 33, 70syl3an 1177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
7271biimprd 147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
m  <_  ( N  +  K )  ->  (
m  -  K )  <_  N ) )
7372adantld 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
74733coml 1111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
75743expia 1106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
7675impd 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
7776ancoms 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
78773adant1 922 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
7961, 69, 783jcad 1085 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( (
m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
80 elfz1 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  -  K )  e.  ( M ... N )  <-> 
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N ) ) )
8180biimprd 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
)  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
82813adant3 924 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
8379, 82syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
8483com12 27 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
85843impb 1100 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
8685com12 27 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
8757, 86syld 40 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
8817imp 115 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) )
8988simp1d 916 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
9089ex 108 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
k  e.  ZZ ) )
9157imp 115 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) )
9291simp1d 916 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
9392ex 108 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  ->  m  e.  ZZ )
)
94 zcn 8250 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
95 zcn 8250 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
96 zcn 8250 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
97 subadd 7214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m  -  K
)  =  k  <->  ( K  +  k )  =  m ) )
98 eqcom 2042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  -  K )  =  k  <->  k  =  ( m  -  K
) )
99 eqcom 2042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  k )  =  m  <->  m  =  ( K  +  k
) )
10097, 98, 993bitr3g 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( K  +  k
) ) )
101 addcom 7150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
1021013adant1 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
103102eqeq2d 2051 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m  =  ( K  +  k )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
104100, 103bitrd 177 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
10594, 95, 96, 104syl3an 1177 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
1061053coml 1111 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
1071063expib 1107 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
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k  +  K ) ) ) )
1081073ad2ant3 927 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
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k  +  K ) ) ) )
10990, 93, 108syl2and 279 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ( M ... N )  /\  m  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
1106, 14, 54, 87, 109en3d 6249 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   _Vcvv 2557   ~Pcpw 3359   class class class wbr 3764    X. cxp 4343    Fn wfn 4897   -->wf 4898  (class class class)co 5512    ~~ cen 6219   CCcc 6887   RRcr 6888    + caddc 6892    <_ cle 7061    - cmin 7182   ZZcz 8245   ...cfz 8874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-en 6222  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-fz 8875
This theorem is referenced by:  fz01en  8917  frecfzen2  9204
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