Theorem fzdisj 8686

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	|- ( K < M -> (( J ... K) i^i ( M ... N)) = (/))

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3120	. . . 4 |- (x e. (( J ... K) i^i ( M ... N)) <-> (x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)))
2		elfzel1 8659	. . . . . . . 8 |- (x e. ( M ... N) -> M e. ZZ)
3	2	adantl 262	. . . . . . 7 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> M e. ZZ)
4	3	zred 8136	. . . . . 6 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> M e. RR)
5		elfzelz 8660	. . . . . . . 8 |- (x e. ( M ... N) -> x e. ZZ)
6	5	zred 8136	. . . . . . 7 |- (x e. ( M ... N) -> x e. RR)
7	6	adantl 262	. . . . . 6 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> x e. RR)
8		elfzel2 8658	. . . . . . . 8 |- (x e. ( J ... K) -> K e. ZZ)
9	8	adantr 261	. . . . . . 7 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> K e. ZZ)
10	9	zred 8136	. . . . . 6 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> K e. RR)
11		elfzle1 8661	. . . . . . 7 |- (x e. ( M ... N) -> M <_ x)
12	11	adantl 262	. . . . . 6 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> M <_ x)
13		elfzle2 8662	. . . . . . 7 |- (x e. ( J ... K) -> x <_ K)
14	13	adantr 261	. . . . . 6 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> x <_ K)
15	4, 7, 10, 12, 14	letrd 6935	. . . . 5 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> M <_ K)
16	4, 10	lenltd 6931	. . . . 5 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> ( M <_ K <-> -. K < M))
17	15, 16	mpbid 135	. . . 4 |- ((x e. ( J ... K) /\ x e. ( M ... N)) -> -. K < M)
18	1, 17	sylbi 114	. . 3 |- (x e. (( J ... K) i^i ( M ... N)) -> -. K < M)
19	18	con2i 557	. 2 |- ( K < M -> -. x e. (( J ... K) i^i ( M ... N)))
20	19	eq0rdv 3255	1 |- ( K < M -> (( J ... K) i^i ( M ... N)) = (/))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1242   e. wcel 1390   i^i cin 2910   (/)c0 3218   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6710   < clt 6857   <_ cle 6858   ZZcz 8021   ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltwlin 6796

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by: (None)